Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo.
\alpha(t)=\left(\mathrm{e}^{t}, \mathrm{e}^{-t}, t \sqrt{2}\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: determinar, para a curva dada em um ponto genérico,
    • o triedro de Frenet: T(t), N(t), B(t);
    • a curvatura \kappa(t) e o raio de curvatura \rho(t);
    • o centro de curvatura C(t);
    • a torção \tau(t);
    • as componentes tangencial e normal da aceleração (isto é, a_T(t) e a_N(t)) e a decomposição \mathbf a = a_T T + a_N N.
  • Dado: a curva
    \alpha(t)=\left(\mathrm{e}^{t},\\ \mathrm{e}^{-t},\\ t\sqrt{2}\right).
Passo seguinte: vamos calcular derivadas, módulo da velocidade e aplicar as fórmulas padrão do triedro de Frenet e das quantidades solicitadas.

Passo 2

Calcular derivadas e velocidade.
  • Derivadas: \alpha'(t)=\bigl(\mathrm{e}^{t},\\\ -\mathrm{e}^{-t},\\ \sqrt{2}\bigr),
\alpha''(t)=\bigl(\mathrm{e}^{t},\\ \mathrm{e}^{-t},\\\ 0\bigr),
\alpha'''(t)=\bigl(\mathrm{e}^{t},\\\ -\mathrm{e}^{-t},\\\ 0\bigr).
  • Velocidade (módulo de \alpha'):
    note que \lVert\alpha'(t)\rVert^{2}=\mathrm{e}^{2t}+\mathrm{e}^{-2t}+2=(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2},logo, como o módulo é positivo, v(t)=\lVert\alpha'(t)\rVert=\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}.
Comentário rápido: este é um passo importante — a partir de v(t) podemos obter T (normalizando \alpha'), a derivada do módulo v'(t) nos dá a componente tangencial da aceleração, etc.

Passo 3

Calcular o vetor tangente unitário T(t).
Definição: T=\dfrac{\alpha'}{\lVert\alpha'\rVert}.
Como \alpha'(t) e v(t) já foram obtidos,
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{v(t)} =\frac{\bigl(\mathrm{e}^{t},\\\ -\mathrm{e}^{-t},\\ \sqrt{2}\bigr)}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}.

Passo 4

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a fórmula com produto vetorial.
Fórmula útil (prática em provas): \displaystyle \kappa=\frac{\lVert\alpha'\times\alpha''\rVert}{\lVert\alpha'\rVert^{3}}.
  • Primeiro o produto vetorial:
    \alpha'(t)\times\alpha''(t)=\bigl(-\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-t},\\ \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{t},\\\ 2\bigr).
    (cálculo direto usando determinante das componentes.)
  • Norma deste vetor:
    \lVert\alpha'\times\alpha''\rVert =\sqrt{2(\mathrm{e}^{2t}+\mathrm{e}^{-2t})+4} =\sqrt{2}\,(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})=\sqrt{2}\,v(t).
  • Portanto a curvatura é
    \kappa(t)=\frac{\sqrt{2}\,v(t)}{v(t)^{3}}=\frac{\sqrt{2}}{v(t)^{2}} =\frac{\sqrt{2}}{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2}}.

Passo 5

Calcular o raio de curvatura \rho(t) e o centro de curvatura C(t).
  • Raio de curvatura: \rho(t)=\dfrac{1}{\kappa(t)}. Assim
    \rho(t)=\frac{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2}}{\sqrt{2}}.
  • Centro de curvatura (centro da circunferência osculadora):
    fórmula: C(t)=\alpha(t)+\rho(t)\,N(t). Então precisamos de N(t) (veja próximo passo); para já, vamos apresentar a expressão final depois de achar N.

Passo 6

Calcular o vetor normal unitário N(t).
Método didático (útil para provas): calcular T'(t) e normalizar. Lembrando que \lVert T'(t)\rVert=\kappa(t)\,v(t).
  • Primeiro calculamos v'(t):
    v'(t)=\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}.
  • Usando a identidade
    T'=\frac{\alpha''\,v-\alpha'\,v'}{v^{2}},
    obtemos (fazendo contas para cada componente)
    \alpha''(t)\,v(t)-\alpha'(t)\,v'(t)=\bigl(2,\,2,\,-\sqrt{2}\,(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})\bigr).
    Logo
    T'(t)=\frac{\bigl(2,\,2,\,-\sqrt{2}\,(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})\bigr)}{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2}}.
  • O módulo \lVert T'(t)\rVert verifica-se ser \dfrac{\sqrt{2}}{v(t)}, consistente com \kappa v.
  • Finalmente N=\dfrac{T'}{\lVert T'\rVert}. Simplificando, obtemos
    N(t)=\left(\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}},\\ \frac{\sqrt{2}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}},\\\ -\frac{\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}\right).
Breve comentário: as duas primeiras componentes de N são iguais e positivas, e a terceira é a razão hiperbólica -\operatorname{tanh} t (pois \operatorname{tanh} t=(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})/(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})) com sinal negativo.

Passo 7

Calcular o binormal B(t).
Definição: B=T\times N. Também vale B=\dfrac{\alpha'\times\alpha''}{\lVert\alpha'\times\alpha''\rVert}.
Usando a expressão do produto vetorial já calculada,
B(t)=\frac{1}{\sqrt{2}\,v(t)}\bigl(-\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-t},\\ \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{t},\\\ 2\bigr) =\left(\!-\frac{\mathrm{e}^{-t}}{v(t)},\\ \frac{\mathrm{e}^{t}}{v(t)},\\ \frac{\sqrt{2}}{v(t)}\!\right).

Passo 8

Determinar o centro de curvatura C(t) explicitamente.
Já temos \rho(t)=\dfrac{v(t)^{2}}{\sqrt{2}} e N(t). Multiplicando \rho N dá, após simplificação,
\rho(t)N(t)=\bigl(v(t),\\ v(t),\\\ -\tfrac{v(t)\,(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})}{\sqrt{2}}\bigr).
Portanto
C(t)=\alpha(t)+\rho(t)N(t) =\Bigl(\mathrm{e}^{t}+v(t),\\ \mathrm{e}^{-t}+v(t),\\ t\sqrt{2}-\frac{v(t)\,(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})}{\sqrt{2}}\Bigr).
Opcionalmente pode-se usar v(t)=\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t} para escrever componentes mais explícitas.

Passo 9

Calcular a torção \tau(t).
Fórmula prática e comum em provas:
\tau(t)=-\frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{\lVert\alpha'\times\alpha''\rVert^{2}}.
Já temos \alpha'\times\alpha''=\bigl(-\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{-t},\\ \sqrt{2}\,\mathrm{e}^{t},\\\ 2\bigr) e \alpha'''=\bigl(\mathrm{e}^{t},\\\ -\mathrm{e}^{-t},\\\ 0\bigr). O produto escalar vale
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''=-2\sqrt{2}.
Assim
\tau(t)=-\frac{-2\sqrt{2}}{(\sqrt{2}\,v(t))^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{v(t)^{2}} =\frac{\sqrt{2}}{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2}}.
Observação simpática: aqui \tau(t)=\kappa(t) para esta curva.

Passo 10

Componentes tangencial e normal da aceleração e decomposição.
  • Aceleração: \mathbf a(t)=\alpha''(t)=\bigl(\mathrm{e}^{t},\\ \mathrm{e}^{-t},\\\ 0\bigr).
  • Componente tangencial (escalares): a_{T}(t)=v'(t)=\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}.
  • Componente normal (escalares): a_{N}(t)=\kappa(t)\,v(t)^{2}=\sqrt{2}. (repare que aqui o fator v^{2} cancela com o denominador de \kappa.)
  • Decomposição:
    \mathbf a(t)=a_{T}(t)\,T(t)+a_{N}(t)\,N(t).
    Em outras palavras,
    \bigl(\mathrm{e}^{t},\\ \mathrm{e}^{-t},\\\ 0\bigr) =(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})\,T(t)+\sqrt{2}\,N(t).
    (É sempre bom checar que essa soma dá \alpha''; as contas anteriores garantem a consistência.)

Resposta

Triedro de Frenet:
T(t)=\frac{\bigl(\mathrm{e}^{t},\\\ -\mathrm{e}^{-t},\\ \sqrt{2}\bigr)}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}},\quad N(t)=\left(\frac{\sqrt{2}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}},\\ \frac{\sqrt{2}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}},\\\ -\frac{\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}\right),\quad B(t)=\left(-\frac{\mathrm{e}^{-t}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}},\\ \frac{\mathrm{e}^{t}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}},\\ \frac{\sqrt{2}}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}\right).
Curvatura:
\kappa(t)=\frac{\sqrt{2}}{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2}}.
Raio de curvatura:
\rho(t)=\frac{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2}}{\sqrt{2}}.
Centro de curvatura:
C(t)=\Bigl(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t},\\ \mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t},\\ t\sqrt{2}-\frac{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})}{\sqrt{2}}\Bigr),
ou, de forma simplificada usando v(t)=\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t},
C(t)=\bigl(\mathrm{e}^{t}+v(t),\\ \mathrm{e}^{-t}+v(t),\\ t\sqrt{2}-\tfrac{v(t)(\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t})}{\sqrt{2}}\bigr).
Torção:
\tau(t)=\frac{\sqrt{2}}{(\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t})^{2}}.
Componentes da aceleração:
a_{T}(t)=\mathrm{e}^{t}-\mathrm{e}^{-t},\qquad a_{N}(t)=\sqrt{2},
e decomposição
\mathbf a(t)=a_{T}(t)\,T(t)+a_{N}(t)\,N(t).

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