Determine o triedro de Frenet, a curvatura, o raio de curvatura, o centro de curvatura, a torção e as componentes tangencial e normal da aceleração em um ponto qualquer das curvas abaixo.
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
-
Pede: determinar, para a curva dada em um ponto genérico,
- o triedro de Frenet:
, , ; - a curvatura
e o raio de curvatura ; - o centro de curvatura
; - a torção
; - as componentes tangencial e normal da aceleração (isto é,
e ) e a decomposição .
- o triedro de Frenet:
-
Dado: a curva
Passo seguinte: vamos calcular derivadas, módulo da velocidade e aplicar as fórmulas padrão do triedro de Frenet e das quantidades solicitadas.
Passo 2
Calcular derivadas e velocidade.
- Derivadas:
- Velocidade (módulo de
):
note quelogo, como o módulo é positivo,
Comentário rápido: este é um passo importante — a partir de
podemos obter
(normalizando
), a derivada do módulo
nos dá a componente tangencial da aceleração, etc.
Passo 3
Calcular o vetor tangente unitário
.
Definição:
.
Como
e
já foram obtidos,
Passo 4
Calcular a curvatura
usando a fórmula com produto vetorial.
Fórmula útil (prática em provas):
.
-
Primeiro o produto vetorial:(cálculo direto usando determinante das componentes.)
-
Norma deste vetor:
-
Portanto a curvatura é
Passo 5
Calcular o raio de curvatura
e o centro de curvatura
.
-
Raio de curvatura:
. Assim -
Centro de curvatura (centro da circunferência osculadora):
fórmula:. Então precisamos de (veja próximo passo); para já, vamos apresentar a expressão final depois de achar .
Passo 6
Calcular o vetor normal unitário
.
Método didático (útil para provas): calcular
e normalizar. Lembrando que
.
-
Primeiro calculamos
: -
Usando a identidadeobtemos (fazendo contas para cada componente)Logo
-
O módulo
verifica-se ser , consistente com . -
Finalmente
. Simplificando, obtemos
Breve comentário: as duas primeiras componentes de
são iguais e positivas, e a terceira é a razão hiperbólica
(pois
) com sinal negativo.
Passo 7
Calcular o binormal
.
Definição:
. Também vale
.
Usando a expressão do produto vetorial já calculada,
Passo 8
Determinar o centro de curvatura
explicitamente.
Já temos
e
. Multiplicando
dá, após simplificação,
Portanto
Opcionalmente pode-se usar
para escrever componentes mais explícitas.
Passo 9
Calcular a torção
.
Fórmula prática e comum em provas:
Já temos
e
. O produto escalar vale
Assim
Observação simpática: aqui
para esta curva.
Passo 10
Componentes tangencial e normal da aceleração e decomposição.
-
Aceleração:
. -
Componente tangencial (escalares):
-
Componente normal (escalares):
(repare que aqui o fator cancela com o denominador de .) -
Decomposição:Em outras palavras,(É sempre bom checar que essa soma dá
; as contas anteriores garantem a consistência.)
Resposta
Triedro de Frenet:
Curvatura:
Raio de curvatura:
Centro de curvatura:
ou, de forma simplificada usando
,
Torção:
Componentes da aceleração:
e decomposição