Seja \alpha(t)=\left(\frac{4}{5} \cos 5 t,-\operatorname{sen} 5 t,-\frac{3}{5} \cos 5 t\right), t \in \mathbb{R}. Mostre que o traço de \alpha é um círculo. Ache seu centro, seu raio e o plano que o contém.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\left(\frac{4}{5}\cos 5t,\,-\sin 5t,\,-\frac{3}{5}\cos 5t\right),\quad t\in\mathbb{R}.
O que se pede:
  • Mostrar que o traço (imagem) de \alpha é um círculo.
  • Achar o centro desse círculo.
  • Achar o raio do círculo.
  • Determinar o plano que contém o círculo.
Informações explícitas que temos: as três coordenadas em função de t (peguei essas expressões do enunciado).

Passo 2

Primeiro vou escrever as coordenadas da curva para manipular com clareza. Para cada t definimos
x(t)=\frac{4}{5}\cos 5t,\qquad y(t)=-\sin 5t,\qquad z(t)=-\frac{3}{5}\cos 5t.
Agora vou calcular o quadrado da norma do vetor posição \alpha(t), isto é \|\alpha(t)\|^2 = x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2. Isso nos diz em que esfera (se houver) os pontos estão. Substituindo:
\|\alpha(t)\|^2=\left(\frac{4}{5}\cos 5t\right)^2+(-\sin 5t)^2+\left(-\frac{3}{5}\cos 5t\right)^2.
Explico passo a passo as potências: \left(\frac{4}{5}\cos 5t\right)^2=\frac{16}{25}\cos^2 5t e \left(-\frac{3}{5}\cos 5t\right)^2=\frac{9}{25}\cos^2 5t. Assim,
\|\alpha(t)\|^2=\frac{16}{25}\cos^2 5t+\sin^2 5t+\frac{9}{25}\cos^2 5t.
Somando os coeficientes de \cos^2 5t:
\|\alpha(t)\|^2=\frac{25}{25}\cos^2 5t+\sin^2 5t=\cos^2 5t+\sin^2 5t.
Aqui uso a identidade trigonométrica básica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 (essa identidade vale para todo \theta). Portanto
\|\alpha(t)\|^2=1\quad\text{para todo }t,
ou seja
\|\alpha(t)\|=1\quad\text{para todo }t.
Interpretação: todo ponto do traço de \alpha está na esfera centrada na origem com raio 1; em símbolos, o traço está contido em
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}.

Passo 3

Agora vou encontrar uma equação linear (um plano) satisfeita pelas coordenadas, eliminando \cos 5t. Das expressões para x(t) e z(t) temos
x(t)=\frac{4}{5}\cos 5t\quad\Rightarrow\quad \cos 5t=\frac{5}{4}x(t),
z(t)=-\frac{3}{5}\cos 5t\quad\Rightarrow\quad \cos 5t=-\frac{5}{3}z(t).
Igualando as duas expressões para \cos 5t:
\frac{5}{4}x(t)=-\frac{5}{3}z(t).
Simplificando (dividindo por 5) obtemos
\frac{1}{4}x(t)=-\frac{1}{3}z(t)\quad\Longrightarrow\quad 3x(t)+4z(t)=0.
Portanto todo ponto do traço satisfaz a equação linear
3x+4z=0,
ou seja, o traço está contido no plano
\Pi=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 3x+4z=0\}.
Observação: essa igualdade foi obtida diretamente das fórmulas das componentes (peguei as expressões de x(t) e z(t) do enunciado).

Passo 4

Juntando os resultados dos passos anteriores: o traço de \alpha está contido na interseção da esfera S:\\ x^2+y^2+z^2=1 e do plano \Pi:\\\ 3x+4z=0. Geometricamente, a interseção de uma esfera com um plano é, em geral, uma circunferência (ou vazia, ou ponto). Quando o plano passa pelo centro da esfera, a interseção é um círculo de raio igual ao raio da esfera (um círculo máximo, chamado grande círculo). Aqui a esfera tem centro na origem O=(0,0,0) e raio R=1. O plano \Pi satisfaz 3\cdot 0+4\cdot 0=0, portanto passa pela origem; isto é, a distância do centro da esfera ao plano é d=0.
A fórmula geral para o raio r da interseção de uma esfera de raio R com um plano a distância d do centro é
r=\sqrt{R^2-d^2}.
Substituindo R=1 e d=0
r=\sqrt{1^2-0^2}=1.
Além disso, o centro do círculo de interseção é a projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano; como o centro da esfera é a origem e o plano passa pela origem, a projeção é a própria origem. Logo o centro do círculo é O=(0,0,0).
Por fim, como mostramos que todos os pontos da curva pertencem simultaneamente à esfera de raio 1 centrada na origem e ao plano \Pi, o traço é exatamente essa interseção: um círculo de centro (0,0,0), raio 1, contido no plano 3x+4z=0.

Passo 5

Comentário prático para a prova (pequena dica): uma maneira rápida de reconhecer círculos em parametrizações é verificar se \|\alpha(t)-c\| é constante (aqui \|\alpha(t)\|=1 mostra imediatamente que o círculo pode estar centrado em c=(0,0,0)), e também procurar relações lineares entre coordenadas que dão o plano suporte (aqui 3x+4z=0 saiu ao eliminar \cos 5t). Essas duas informações juntas (esfera centrada em c e plano passando por c) garantem um círculo centrado em c.

Resposta

Centro: (0,0,0)
Raio: 1
Plano que contém o círculo: 3x+4z=0

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