Seja
. Mostre que o traço de
é um círculo. Ache seu centro, seu raio e o plano que o contém.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
O que se pede:
- Mostrar que o traço (imagem) de
é um círculo. - Achar o centro desse círculo.
- Achar o raio do círculo.
- Determinar o plano que contém o círculo.
Informações explícitas que temos: as três coordenadas em função de
(peguei essas expressões do enunciado).
Passo 2
Primeiro vou escrever as coordenadas da curva para manipular com clareza. Para cada
definimos
Agora vou calcular o quadrado da norma do vetor posição
, isto é
. Isso nos diz em que esfera (se houver) os pontos estão. Substituindo:
Explico passo a passo as potências:
e
. Assim,
Somando os coeficientes de
:
Aqui uso a identidade trigonométrica básica
(essa identidade vale para todo
). Portanto
ou seja
Interpretação: todo ponto do traço de
está na esfera centrada na origem com raio
; em símbolos, o traço está contido em
Passo 3
Agora vou encontrar uma equação linear (um plano) satisfeita pelas coordenadas, eliminando
. Das expressões para
e
temos
Igualando as duas expressões para
:
Simplificando (dividindo por
) obtemos
Portanto todo ponto do traço satisfaz a equação linear
ou seja, o traço está contido no plano
Observação: essa igualdade foi obtida diretamente das fórmulas das componentes (peguei as expressões de
e
do enunciado).
Passo 4
Juntando os resultados dos passos anteriores: o traço de
está contido na interseção da esfera
e do plano
. Geometricamente, a interseção de uma esfera com um plano é, em geral, uma circunferência (ou vazia, ou ponto). Quando o plano passa pelo centro da esfera, a interseção é um círculo de raio igual ao raio da esfera (um círculo máximo, chamado grande círculo). Aqui a esfera tem centro na origem
e raio
. O plano
satisfaz
, portanto passa pela origem; isto é, a distância do centro da esfera ao plano é
.
A fórmula geral para o raio
da interseção de uma esfera de raio
com um plano a distância
do centro é
Substituindo
e
dá
Além disso, o centro do círculo de interseção é a projeção ortogonal do centro da esfera sobre o plano; como o centro da esfera é a origem e o plano passa pela origem, a projeção é a própria origem. Logo o centro do círculo é
.
Por fim, como mostramos que todos os pontos da curva pertencem simultaneamente à esfera de raio
centrada na origem e ao plano
, o traço é exatamente essa interseção: um círculo de centro
, raio
, contido no plano
.
Passo 5
Comentário prático para a prova (pequena dica): uma maneira rápida de reconhecer círculos em parametrizações é verificar se
é constante (aqui
mostra imediatamente que o círculo pode estar centrado em
), e também procurar relações lineares entre coordenadas que dão o plano suporte (aqui
saiu ao eliminar
). Essas duas informações juntas (esfera centrada em
e plano passando por
) garantem um círculo centrado em
.
Resposta
Centro:
Raio:
Plano que contém o círculo:
Raio:
Plano que contém o círculo: