(a) determine u de modo que partial fpartial u(-1,1) seja máximo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para determinar o vetor u de forma que a derivada direcional de uma função f no ponto (-1,1) seja máxima. Esse exercício envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de uma função f em um ponto específico na direção de um vetor u nos diz o quanto a função está aumentando ou diminuindo nessa direção. Matematicamente, é representada por:
partial fpartial u = nabla f cdot u
Aqui, nabla f é o gradiente da função f, que aponta na direção de maior aumento de f, e “·” representa o produto escalar entre vetores.

Passo 3

Queremos que essa derivada direcional seja máxima. Sabemos que o produto escalar entre dois vetores é máximo quando os vetores estão na mesma direção. Ou seja, para maximizar partial fpartial u, o vetor u deve estar na mesma direção do gradiente nabla f no ponto (-1,1).

Passo 4

Além disso, geralmente consideramos que u é um vetor unitário (ou seja, com módulo igual a 1), para que a direção seja o único fator considerado na maximização. Portanto, para encontrar u que maximiza a derivada direcional, basta normalizar o gradiente:
u = nabla f(-1,1)|nabla f(-1,1)|
Isso significa que dividimos o vetor gradiente pelo seu módulo, transformando-o em um vetor unitário na mesma direção.

Resposta

O vetor u que maximiza a derivada direcional de f no ponto (-1,1) é dado por:
u = nabla f(-1,1)|nabla f(-1,1)|

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