(a) determine
de modo que
seja máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para determinar o vetor
de forma que a derivada direcional de uma função
no ponto
seja máxima. Esse exercício envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto específico na direção de um vetor
nos diz o quanto a função está aumentando ou diminuindo nessa direção. Matematicamente, é representada por:
Aqui,
é o gradiente da função
, que aponta na direção de maior aumento de
, e “·” representa o produto escalar entre vetores.
Passo 3
Queremos que essa derivada direcional seja máxima. Sabemos que o produto escalar entre dois vetores é máximo quando os vetores estão na mesma direção. Ou seja, para maximizar
, o vetor
deve estar na mesma direção do gradiente
no ponto
.
Passo 4
Além disso, geralmente consideramos que
é um vetor unitário (ou seja, com módulo igual a 1), para que a direção seja o único fator considerado na maximização. Portanto, para encontrar
que maximiza a derivada direcional, basta normalizar o gradiente:
Isso significa que dividimos o vetor gradiente pelo seu módulo, transformando-o em um vetor unitário na mesma direção.
Resposta
O vetor
que maximiza a derivada direcional de
no ponto
é dado por: