Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Calcule a área da região limitada pelas curvas f(x) = x^3 e g(x) = x no intervalo x em [-1, 1].

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo de área aqui. A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas e no intervalo de de -1 a 1. Para resolver isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta do cálculo para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são essas curvas. A curva é uma função cúbica que passa pelo ponto de origem e tem uma forma que sobe e desce. Já a curva é uma linha reta que também passa pela origem. Queremos ver onde essas duas curvas se encontram e qual delas está por cima da outra no intervalo de -1 a 1.

Passo 3

Vamos achar os pontos de interseção dessas duas curvas. Igualando e :
Subtraindo de ambos os lados:
Então, as curvas se intersectam nos pontos , e .

Passo 4

Agora, vamos analisar qual função está por cima da outra entre -1 e 1. Vamos escolher alguns valores de neste intervalo para verificar:
  • Para :
Então, quando .
  • Para :
Aqui, quando .

Passo 5

Como a função que está por cima muda no intervalo, vamos dividir a integral em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 1.
A área total será:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral de -1 a 0:
Calculando nos limites:
Segunda integral de 0 a 1:
Calculando nos limites:

Passo 7

Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e no intervalo de é unidades de área.

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