Todas as questões a seguir envolve cálculo de área.
Calcule a área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo
.
Calcule a área da região limitada pelas curvas
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo de área aqui. A gente precisa encontrar a área da região que fica entre as curvas
e
no intervalo de
de -1 a 1. Para resolver isso, vamos usar integração, que é uma ferramenta do cálculo para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são essas curvas. A curva
é uma função cúbica que passa pelo ponto de origem e tem uma forma que sobe e desce. Já a curva
é uma linha reta que também passa pela origem. Queremos ver onde essas duas curvas se encontram e qual delas está por cima da outra no intervalo de -1 a 1.
Passo 3
Vamos achar os pontos de interseção dessas duas curvas. Igualando
e
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos analisar qual função está por cima da outra entre -1 e 1. Vamos escolher alguns valores de
neste intervalo para verificar:
- Para
:
Então,
quando
.
- Para
:
Aqui,
quando
.
Passo 5
Como a função que está por cima muda no intervalo, vamos dividir a integral em duas partes: de -1 a 0 e de 0 a 1.
A área total será:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral de -1 a 0:
Calculando nos limites:
Segunda integral de 0 a 1:
Calculando nos limites:
Passo 7
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo de
é
unidades de área.