(b) partial(F, G)partial(x, y) sendo F(x, y, z)=e^-x^2+cos y+1z e G(x, y, z)=x^2-y-1z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial , onde e . Vamos precisar usar o conceito de Jacobian, que é uma ferramenta para calcular determinantes de matrizes de derivadas parciais. Não se preocupa se isso soa complicado, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Jacobian. Quando temos duas funções partial(F, G)partial(x, y) = partial Fpartial x & partial Fpartial y partial Gpartial x & partial Gpartial y e que dependem de duas variáveis e , o Jacobian é o determinante da matriz formada pelas derivadas parciais dessas funções em relação a e . Matematicamente, fica assim:

Passo 3

Vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais individualmente. Começando com partial Fpartial x = ddx(e^-x^2) + ddx(cos y) + ddx(1z) :
  1. Derivada de partial Fpartial x = -2x e^-x^2 + 0 + 0 = -2x e^-x^2 em relação a partial Fpartial y = ddy(e^-x^2) + ddy(cos y) + ddy(1z) :
    partial Fpartial y = 0 - sin y + 0 = -sin y
    Como e são tratados como constantes em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
    Novamente, tratamos e como constantes:

Passo 4

Agora, vamos para a função partial Gpartial x = ddx(x^2) - ddx(y) - ddx(1z^2) :
  1. Derivada de partial Gpartial x = 2x - 0 - 0 = 2x em relação a partial Gpartial y = ddy(x^2) - ddy(y) - ddy(1z^2) :
    partial Gpartial y = 0 - 1 - 0 = -1
    Tratando e como constantes:
  2. Derivada de em relação a :
    Novamente, e são constantes:

Passo 5

Com todas as derivadas parciais calculadas, montamos a matriz Jacobiana:
partial(F, G)partial(x, y) = -2x e^-x^2 & -sin y 2x & -1
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz a & b c & d = ad - bc é dado por:
-2x e^-x^2 & -sin y 2x & -1 = (-2x e^-x^2)(-1) - (-sin y)(2x) = 2x e^-x^2 + 2x sin y
Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

Portanto, a derivada parcial partial(F, G)partial(x, y) = 2x e^-x^2 + 2x sin y é:

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