Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial , onde e . Vamos precisar usar o conceito de Jacobian, que é uma ferramenta para calcular determinantes de matrizes de derivadas parciais. Não se preocupa se isso soa complicado, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Jacobian. Quando temos duas funções e que dependem de duas variáveis e , o Jacobian é o determinante da matriz formada pelas derivadas parciais dessas funções em relação a e . Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais individualmente. Começando com partial Fpartial x = ddx(e^-x^2) + ddx(cos y) + ddx(1z) :
Derivada de partial Fpartial x = -2x e^-x^2 + 0 + 0 = -2x e^-x^2 em relação a partial Fpartial y = ddy(e^-x^2) + ddy(cos y) + ddy(1z) :
partial Fpartial y = 0 - sin y + 0 = -sin y
Como e são tratados como constantes em relação a :
Derivada de em relação a :
Novamente, tratamos e como constantes:
Passo 4
Agora, vamos para a função partial Gpartial x = ddx(x^2) - ddx(y) - ddx(1z^2) :
Derivada de partial Gpartial x = 2x - 0 - 0 = 2x em relação a partial Gpartial y = ddy(x^2) - ddy(y) - ddy(1z^2) :
partial Gpartial y = 0 - 1 - 0 = -1
Tratando e como constantes:
Derivada de em relação a :
Novamente, e são constantes:
Passo 5
Com todas as derivadas parciais calculadas, montamos a matriz Jacobiana: