Determine se u=(5,2,1), v=(4,1,1) e w=(1,1,0) são coplanares desde que posicionados com seus pontos iniciais coincidindo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se os vetores u=(5,2,1), v=(4,1,1) e w=(1,1,0), todos posicionados com a origem comum, são coplanares. Vamos usar o conceito de produto misto de vetores para resolver.

Passo 2

Para verificar a coplanaridade de três vetores no espaço, usamos o produto misto ucdot(vtimes w). Se ucdot(vtimes w)=0, então os vetores são coplanares.
Calculemos primeiro o produto vetorial vtimes w. Temos:
vtimes w = i & j & k 4 & 1 & 1 1 & 1 & 0 = (-1,,1,,3)

Passo 3

Agora calculamos o produto escalar de u com esse resultado:
ucdot(vtimes w) = (5,2,1) cdot (-1,1,3) = 5cdot(-1) + 2cdot1 + 1cdot3 = -5 + 2 + 3 = 0
Como o produto misto é zero, concluímos que os vetores são coplanares.

Resposta

Sim, são coplanares, pois o produto misto ucdot(vtimes w) é zero.

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