4^a : Seja B=i, j, k a base canônica de R^3. Encontre o volume o produto misto gerado pelos vetores u=(2,3,5)B, v=(-1,3,3)B, w=(4,-3,2)B.

Passo 1

O enunciado pede o produto misto (ou triplo escalar) de vec u=(2,3,5), vec v=(-1,3,3) e vec w=(4,-3,2) na base canônica de R^3, e em seguida o volume do paralelepípedo gerado por esses vetores. Para isso, vamos usar que o produto misto é dado pelo determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as componentes dos vetores, e o volume é o valor absoluto desse determinante.

Passo 2

Escrevemos o produto misto como determinante:
[vec u,vec v,vec w] =det 2 & 3 & 5 -1 & 3 & 3 4 & -3 & 2

Passo 3

Fazendo expansão pela primeira linha temos
det 2 & 3 & 5 -1 & 3 & 3 4 & -3 & 2 =2 det3 & 3 -3 & 2 -3 det-1 & 3 4 & 2 +5 det-1 & 3 4 & -3
Calculemos cada menor:
det3 & 3 -3 & 2 =3cdot2 - 3cdot(-3)=6+9=15,
det-1 & 3 4 & 2 =-1cdot2 - 3cdot4=-2-12=-14,
det-1 & 3 4 & -3 =-1cdot(-3) - 3cdot4=3-12=-9
Substituindo:
[vec u,vec v,vec w] =2cdot15 ;-;3cdot(-14);+;5cdot(-9) =30 + 42 - 45 = 27

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto:
Volume = l|[vec u,vec v,vec w]r| = |27| = 27

Resposta

Produto misto =27
Volume =27

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