3^a: Seja B=i, j, k a base canônica do espaço. Considere os vetores u=(5,4,3)B e v= (0,1,1)B. Encontre um vetor w com as seguintes características:
  1. w é um vetor não nulo;
  2. w é ortogonal ao vetor u;
  3. w é ortogonal ao vetor v;
  4. |w|=1.

Passo 1

O enunciado pede um vetor w não-nulo, ortogonal a u=(5,4,3) e v=(0,1,1), com norma 1. Para isso, vamos usar produto vetorial em R^3 para obter um vetor perpendicular a ambos e depois normalizá-lo.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial
w0 ;=;utimes v =i&j&k5&4&30&1&1 =(4cdot1-3cdot1),i-(5cdot1-3cdot0),j+(5cdot1-4cdot0),k =(1,-5,5)

Passo 3

Verificamos ortogonalidade:
w0cdotu=1cdot5+(-5)cdot4+5cdot3=5-20+15=0, w0cdotv=1cdot0+(-5)cdot1+5cdot1=-5+5=0
Logo w0 é ortogonal a u e v.

Passo 4

Calculamos a norma de w0:
|w0|=raiz1^2+(-5)^2+5^2=raiz1+25+25=raiz51

Passo 5

Normalizamos w0 para obter w:
w=w0|w0| =1raiz51,(1,-5,5)

Resposta

w=l(tfrac1raiz51,-tfrac5raiz51,tfrac5raiz51r)

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