Determine:
(a) se u=(1,1,1), w=(1,2,3) e v=(2,-1,1) formam uma base para o espaço vetorial R^3

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(1,1,1), w=(1,2,3), v=(2,-1,1)
e pede para verificar se eles formam uma base de R^3.
Conteúdo usado: um conjunto de três vetores em R^3 é base se, e somente se, for linearmente independente. Para isso, podemos montar a matriz com esses vetores como colunas e calcular seu determinante; se for não nulo, são LI.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são u, w e v:
M = 1 & 1 & 2 1 & 2 & -1 1 & 3 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de M pela expansão na primeira linha:
det(M) =1cdotdet2 & -13 & 1 -1cdotdet1 & -11 & 1 +2cdotdet1 & 21 & 3
Cada menor é
det2 & -13 & 1=2cdot1-(-1)cdot3=5, det1 & -11 & 1=1cdot1-(-1)cdot1=2, det1 & 21 & 3=1cdot3-2cdot1=1
Logo
det(M)=1cdot5-1cdot2+2cdot1=5-2+2=5neq0

Passo 4

Como det(M)neq0, os vetores são linearmente independentes em R^3. Três vetores LI em R^3 geram todo o espaço, logo formam uma base.

Resposta

Sim, u, w e v formam uma base de R^3.

Exercícios relacionados