Seja
o espaço vetorial das matrizes
sobre
. Determine se as matrizes
,
B=[ll0 & 1 1 & 0], C=[ll0 & 0 1 & 1] e
D=[ll0 & 0 0 & 1] formam uma base de
V .
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
V de todas as matrizes
2times2 sobre
R , que tem dimensão
4 . Recebemos quatro matrizes
Para que
A,B,C,D seja base de
V , basta mostrar que são linearmente independentes (quatro vetores em espaço de dimensão 4).
Passo 2
Suponha que exista combinação linear nula:
Escrevendo componente a componente, temos
Isto gera o sistema de equações
Passo 3
Resolvendo em cadeia:
-
.alpha=0 -
implicaalpha+beta=0 .beta=0 -
implicabeta+gamma=0 .gamma=0 -
implicagamma+de<a=0 .de<a=0
Logo a única solução é
alpha=beta=gamma=de<a=0 , ou seja, as matrizes são linearmente independentes.
Resposta
As matrizes
A,B,C,D são independentes num espaço de dimensão 4, portanto formam uma base de
V .