Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 sobre R. Determine se as matrizes A=[ll1 & 1 0 & 0], B=[ll0 & 1 1 & 0], C=[ll0 & 0 1 & 1] e D=[ll0 & 0 0 & 1] formam uma base de V.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V de todas as matrizes 2times2 sobre R, que tem dimensão 4. Recebemos quatro matrizes
A=1 & 10 & 0, B=0 & 11 & 0, C=0 & 01 & 1, D=0 & 00 & 1
Para que A,B,C,D seja base de V, basta mostrar que são linearmente independentes (quatro vetores em espaço de dimensão 4).

Passo 2

Suponha que exista combinação linear nula:
alpha,A + beta,B + gamma,C + de<a,D = 02times2
Escrevendo componente a componente, temos
alpha 1 & 10 & 0 + beta 0 & 11 & 0 + gamma 0 & 01 & 1 + de<a 0 & 00 & 1 = alpha & alpha + beta beta + gamma & gamma + de<a = 0&00&0
Isto gera o sistema de equações
alpha = 0, alpha + beta = 0, beta + gamma = 0, gamma + de<a = 0

Passo 3

Resolvendo em cadeia:
  1. alpha=0.
  2. alpha+beta=0 implica beta=0.
  3. beta+gamma=0 implica gamma=0.
  4. gamma+de<a=0 implica de<a=0.
Logo a única solução é alpha=beta=gamma=de<a=0, ou seja, as matrizes são linearmente independentes.

Resposta

As matrizes A,B,C,D são independentes num espaço de dimensão 4, portanto formam uma base de V.

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