Determine, usando o conceito de derivada de função inversa, as seguintes derivadas:
x \operatorname{arctg}(3 x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x\,\operatorname{arctg}(3x).
Para isso vamos usar a regra do produto e a derivada da função inversa para \operatorname{arctg}, lembrando que \operatorname{arctg} é a inversa de \tan.

Passo 2

Seja y=\operatorname{arctg}(u). Como u=\tan(y), aplicando a derivada da inversa temos
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{\frac{d}{dy}\tan(y)}\;\frac{du}{dx} =\frac{1}{\operatorname{sec}^2(y)}\,u' =\frac{1}{1+\tan^2(y)}\,u' =\frac{u'}{1+u^2}.
Logo
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(u) =\frac{u'}{1+u^2}.

Passo 3

Aplicando a regra do produto em f(x)=x\cdot\operatorname{arctg}(3x), obtemos
f'(x) =1\cdot\operatorname{arctg}(3x) +x\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(3x)\bigr].

Passo 4

Na derivada de \operatorname{arctg}(3x) fazemos u=3x, logo u'=3. Assim
f'(x) =\operatorname{arctg}(3x) +x\cdot\frac{3}{1+(3x)^2} =\operatorname{arctg}(3x) +\frac{3x}{1+9x^2}.

Resposta

f'(x)=\operatorname{arctg}(3x)+\frac{3x}{1+9x^2}.

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