Determine, usando a divisão euclidiana, o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) :
f(x)=x^{6}+1, \quad g(x)=x^{3}+1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos dividir o polinômio f(x)=x^{6}+1 pelo polinômio g(x)=x^{3}+1 usando a divisão euclidiana de polinômios. Para isso, em cada passo dividimos o termo de maior grau do resto atual pelo termo de maior grau de g(x), obtemos um monômio do quociente, multiplicamos e subtraímos.

Passo 2

O termo de maior grau de f(x) é x^{6} e o de g(x) é x^{3}. Dividindo-os, obtemos
x^{6}\big/x^{3}=x^{3}.
Esse será o primeiro termo de q(x). Multiplicamos g(x) por x^{3}:
(x^{3}+1)\cdot x^{3}=x^{6}+x^{3}.

Passo 3

Subtraímos esse resultado de f(x):
(x^{6}+1)-(x^{6}+x^{3})=-x^{3}+1.
Esse polinômio -x^{3}+1 é o novo resto parcial. Como o grau dele (3) ainda é≥ grau de g(x) (3), continuamos.

Passo 4

Agora dividimos o termo de maior grau do resto parcial -x^{3} pelo termo x^{3} de g(x):
(-x^{3})\big/x^{3}=-1.
Esse será o segundo termo de q(x). Multiplicamos g(x) por -1:
(x^{3}+1)\cdot(-1)=-x^{3}-1.
Subtraindo esse produto do resto parcial:
(-x^{3}+1)-(-x^{3}-1)=2.
Como 2 tem grau 0<3, este é o resto final.

Resposta

q(x)=x^{3}-1 r(x)=2

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