Determine, usando a divisão euclidiana, o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) :
f(x)=x^{3}+2 x^{2}-1, \quad g(x)=2 x^{2}+1.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=x^{3}+2x^{2}-1
na forma
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x),
onde
g(x)=2x^{2}+1,
deg \,r<deg \,g.
O conteúdo é divisão euclidiana de polinômios.

Passo 2

Como deg \,f =3 e deg \,g =2, o quociente q(x) terá grau 1. Logo, seja
q(x)=ax+b
e o resto r(x) será um polinômio de grau menor que 2.

Passo 3

Determinar o coeficiente a dividindo o termo líder de f pelo de g:
\frac{x^3}{2x^2}=\frac12\,x.
Portanto o primeiro termo de q(x) é \tfrac12x.

Passo 4

Multiplicando \tfrac12x por g(x) e subtraindo de f(x) temos
f(x)-\Bigl(\tfrac12x\Bigr)g(x) =\bigl(x^3+2x^2+0x-1\bigr)-\bigl(x^3+\tfrac12x\bigr) =2x^2-\tfrac12x-1.

Passo 5

Agora dividimos o termo líder do polinômio obtido pelo termo líder de g:
\frac{2x^2}{2x^2}=1.
Esse é o segundo termo de q(x). Multiplicando 1 por g(x) e subtraindo do polinômio atual resta
\bigl(2x^2-\tfrac12x-1\bigr)-\bigl(2x^2+1\bigr) =-\tfrac12x-2.
Esse polinômio é o resto, pois seu grau (1) é menor que deg \,g =2.

Passo 6

Concluímos que
q(x)=\tfrac12x+1, \qquad r(x)=-\tfrac12x-2.

Resposta

q(x)=\tfrac12x+1 r(x)=-\tfrac12x-2

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