Determine, usando a divisão euclidiana, o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) :
f(x)=x^{5}-x^{3}+2 x^{2}-2, \quad g(x)=x+1.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
f(x)=x^{5}-x^{3}+2x^{2}-2
pelo polinômio divisor
g(x)=x+1
usando a divisão euclidiana de polinômios. O conteúdo principal aqui é aplicar o algoritmo da divisão (ou divisão sintética) para encontrar o quociente q(x) e o resto r(x).

Passo 2

Para usar divisão sintética, identificamos primeiro a raiz de g(x)=0, que é
x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1.
Em seguida, escrevemos os coeficientes de f(x) em ordem decrescente de grau, incluindo zeros quando necessário:
1,\;0,\;-1,\;2,\;0,\;-2.

Passo 3

Aplicamos o esquema da divisão sintética com o valor -1:
\begin{array}{r|rrrrrr} -1 & 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -2\\hline & & -1 & 1 & 0 & -2 & 2\\hline & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 & 0 \end{array}
Passo a passo:
  1. Desce o 1.
  2. Multiplica -1× 1 = -1, soma com 0 dando -1.
  3. Multiplica -1× -1= 1, soma com -1 dando 0.
  4. Multiplica -1× 0= 0, soma com 2 dando 2.
  5. Multiplica -1× 2= -2, soma com 0 dando -2.
  6. Multiplica -1× -2= 2, soma com -2 dando 0.
A última entrada 0 é o resto e as outras são os coeficientes do quociente.

Passo 4

Os coeficientes do quociente, da esquerda para a direita, são
1,\;-1,\;0,\;2,\;-2,
isto é,
q(x)=x^{4}-x^{3}+0\cdot x^{2}+2x-2=x^{4}-x^{3}+2x-2,
e o resto é
r(x)=0.

Resposta

q(x)=x^{4}-x^{3}+2x-2 r(x)=0

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