Determine, usando a divisão euclidiana, o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) :
f(x)=8 x^{4}-8 x^{2}+6 x+6, \quad g(x)=2 x^{2}-x.

Passo 1

O enunciado pede a divisão euclidiana de
f(x)=8x^{4}-8x^{2}+6x+6
por
g(x)=2x^{2}-x.
Vamos usar o método de divisão de polinômios: a cada passo dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, multiplicamos o divisor e subtraímos para obter o próximo resíduo.

Passo 2

O termo de maior grau de f é 8x^{4} e o de g é 2x^{2}.
Dividindo, obtemos o primeiro termo do quociente:
\frac{8x^{4}}{2x^{2}}=4x^{2}.
Multiplicamos g(x) por 4x^{2} e subtraímos de f(x):
8x^{4}-8x^{2}+6x+6 -\bigl(4x^{2}\cdot(2x^{2}-x)\bigr) = 8x^{4}-8x^{2}+6x+6-(8x^{4}-4x^{3}) =4x^{3}-8x^{2}+6x+6.

Passo 3

No resíduo 4x^{3}-8x^{2}+6x+6, o termo de maior grau é 4x^{3}.
Dividindo por 2x^{2} vem o segundo termo do quociente:
\frac{4x^{3}}{2x^{2}}=2x.
Multiplicamos g(x) por 2x e subtraímos:
4x^{3}-8x^{2}+6x+6 -\bigl(2x\cdot(2x^{2}-x)\bigr) = 4x^{3}-8x^{2}+6x+6-(4x^{3}-2x^{2}) =-6x^{2}+6x+6.

Passo 4

No resíduo -6x^{2}+6x+6, o termo de maior grau é -6x^{2}.
Dividindo por 2x^{2} vem o terceiro termo do quociente:
\frac{-6x^{2}}{2x^{2}}=-3.
Multiplicamos g(x) por -3 e subtraímos:
-6x^{2}+6x+6 -\bigl(-3\cdot(2x^{2}-x)\bigr) = -6x^{2}+6x+6-(-6x^{2}+3x) =3x+6.

Passo 5

O novo resíduo é 3x+6, de grau 1, menor que \deg g=2. Portanto a divisão termina aqui.

Resposta

O quociente e o resto são
q(x)=4x^{2}+2x-3, \qquad r(x)=3x+6.

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