Determine, usando a divisão euclidiana, o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) :
f(x)=2 x^{4}+2 x^{3}-4 x+3, \quad g(x)=x^{2}-2 x+3.

Passo 1

O enunciado pede a divisão euclidiana de f(x)=2x^{4}+2x^{3}-4x+3
por g(x)=x^{2}-2x+3,
isto é, encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) tais que
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x),
com \deg r<\deg g=2.

Passo 2

O grau de f é 4 e o de g é 2, logo \deg q=2. O primeiro termo de q vem de
\frac{2x^4}{x^2}=2x^2.
Multiplicamos e subtraímos:
2x^2\cdot(x^2-2x+3)=2x^4-4x^3+6x^2,
(2x^4+2x^3+0x^2)-\bigl(2x^4-4x^3+6x^2\bigr) =6x^3-6x^2.
Trazendo os termos restantes, ficamos com
6x^3-6x^2-4x+3.

Passo 3

O próximo termo de q é
\frac{6x^3}{x^2}=6x.
Multiplicando e subtraindo:
6x\cdot(x^2-2x+3)=6x^3-12x^2+18x,
(6x^3-6x^2-4x)-\bigl(6x^3-12x^2+18x\bigr) =6x^2-22x.
Com o termo constante, obtemos
6x^2-22x+3.

Passo 4

O último termo de q é
\frac{6x^2}{x^2}=6.
Multiplicando e subtraindo:
6\cdot(x^2-2x+3)=6x^2-12x+18,
(6x^2-22x+3)-\bigl(6x^2-12x+18\bigr) =-10x-15.
Como \deg(-10x-15)=1<2, este é o resto.

Resposta

q(x)=2x^2+6x+6 r(x)=-10x-15

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