Determine, usando a divisão euclidiana, o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por g(x) :
f(x)=3 x^{3}+4 x^{2}-13 x+6, \quad g(x)=x^{2}+2 x-3.

Passo 1

O enunciado pede a divisão euclidiana do polinômio
f(x)=3x^{3}+4x^{2}-13x+6
pelo polinômio
g(x)=x^{2}+2x-3.
O conteúdo utilizado é o algoritmo de divisão de polinômios: a cada passo dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, multiplicamos o divisor pelo quociente parcial e subtraímos do dividendo, repetindo até o grau do resto ser menor que o grau do divisor.

Passo 2

Dividimos o termo de maior grau de f(x), que é 3x^{3}, pelo termo de maior grau de g(x), que é x^{2}. Isso dá
\frac{3x^{3}}{x^{2}}=3x.
Multiplicamos g(x) por 3x e subtraímos de f(x):
3x\cdot g(x)=3x^{3}+6x^{2}-9x,
f(x)-3x\cdot g(x)=(3x^{3}+4x^{2}-13x+6)-(3x^{3}+6x^{2}-9x)=-2x^{2}-4x+6.

Passo 3

Agora o novo polinômio a dividir é -2x^{2}-4x+6. Dividimos o termo de maior grau -2x^{2} por x^{2}:
\frac{-2x^{2}}{x^{2}}=-2.
Multiplicamos g(x) por -2 e subtraímos:
-2\cdot g(x)=-2x^{2}-4x+6,
(-2x^{2}-4x+6)-(-2x^{2}-4x+6)=0.
Como o resto é 0, paramos aqui.

Resposta

q(x)=3x-2, \quad r(x)=0.

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