Determine, usando integrais, a área da superfície:
O helicoide (rampa espiral) com equação vetorial r(u, v)=u cos (v) i+u sin (v) j+v k, com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado dá o helicoide parametrizado por
r(u,v) = ucos(v),i + usin(v),j + v,k,
com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 2pi, e pede a área dessa superfície. Para isso usamos a fórmula da área de superfície parametrizada:
A = integral duplaD |ru times rv|,du,dv

Passo 2

Calcular as derivadas parciais ru e rv. Como
r(u,v) = l(ucos(v),,usin(v),,vr),
resulta
ru = l(cos(v),,sin(v),,0r), rv = l(-usin(v),,ucos(v),,1r)

Passo 3

Calcular o produto vetorial e sua norma. Pelo determinante,
ru times rv = l(sin(v),,-cos(v),,ur),
portanto
|ru times rv| = raizsin^2(v)+cos^2(v)+u^2 = raiz1+u^2

Passo 4

Montar a integral da área:
A = integralv=0^2piintegralu=0^1 raiz1+u^2,du,dv = 2pi integral0^1 raiz1+u^2,du

Passo 5

Calcular a integral em u. Sabemos que
integral raiz1+u^2,du = u2raiz1+u^2 + 12lnl(u + raiz1+u^2r) + C
Assim
integral0^1 raiz1+u^2,du = [u2raiz1+u^2 + 12lnl(u + raiz1+u^2r)]0^1 = raiz22 + 12lnl(1+raiz2r)

Passo 6

Multiplicando por 2pi, obtemos
A = 2pil(raiz22 + 12ln(1+raiz2)r) = pil(raiz2 + ln(1+raiz2)r)

Resposta

A = pil(raiz2 + ln(1+raiz2)r)

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