Exercício 4. (01,00 ponto cada item) Obter cada uma das seguintes antiderivadas:
(a) integral 11+e^x d x (dica: notar que AB=A+C-CB=A+CB-CB );

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
integral 11+e^x,dx
O conteúdo principal é usar uma manipulação algébrica da fração, conforme a dica, e depois aplicar substituição para integrar o termo resultante.

Passo 2

Aplicando a dica, escrevemos
11+e^x = 1 + e^x - e^x1+e^x = 1+e^x1+e^x ;-; e^x1+e^x = 1 ;-;e^x1+e^x

Passo 3

Dividimos a integral em duas partes:
integral 11+e^x,dx = integral 1,dx ;-;integral e^x1+e^x,dx

Passo 4

A primeira parte é imediata:
integral 1,dx = x + C1
Para a segunda parte, fazemos u = 1 + e^x, logo du = e^x,dx. Então
integral e^x1+e^x,dx = integral duu = lnl|ur| + C2 = lnl(1+e^xr) + C2

Passo 5

Juntando os resultados e absorvendo C1 - C2 num único C, obtemos
x - lnl(1+e^xr) + C

Resposta

boxedx - lnl(1+e^xr) + C

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