Determine, usando as propriedades da divisão:
o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f(x) por x, sendo
f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} .

Passo 1

O enunciado nos dá um polinômio
f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}
e pede o quociente q(x) e o resto r(x) na divisão de f(x) por x. Vamos usar o algoritmo da divisão de polinômios e o Teorema do Resto.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, existem um quociente q(x) e um resto r(x) tais que
f(x)=x\,q(x)+r(x),
com \deg r<\deg x=1. Isso implica que r(x) é uma constante, digamos r.

Passo 3

Para determinar essa constante, aplicamos o Teorema do Resto, que afirma que o resto da divisão de f por x-c é f\text{(c)}. Como aqui o divisor é x-0, temos
r = f(0) = a_{0}.

Passo 4

Para encontrar q(x), basta escrever
f(x)-a_{0} = a_{n}x^{n}+\cdots+a_{1}x = x\bigl(a_{n}x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_{1}\bigr).
Comparando com f(x)=x\,q(x)+a_{0}, obtemos
q(x)=a_{n}x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_{1}.

Resposta

q(x)=a_{n}x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_{1},\quad r(x)=a_{0}.

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