Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :
f(x, y)=x-y-2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x,y)=x - y - 2
usando curvas de nível. Aqui o “gráfico” de f é a superfície em (x,y,z) dada por
z = f(x,y) = x - y - 2.
Para desenhar essa superfície, vamos primeiro achar as curvas de nível (contornos) e depois posicioná-las na altura apropriada z=k.

Passo 2

Uma curva de nível de ordem k é o conjunto de pontos (x,y) em que
f(x,y)=k,
isto é,
x - y - 2 = k.
Rearranjando, temos
y = x - (2 + k).
Portanto, cada curva de nível é uma reta de inclinação 1 no plano xy, com intercepto no eixo y igual a -(2+k).

Passo 3

Escolhendo alguns valores de k, por exemplo k=-2,\,0,\,2, obtemos retas paralelas:
k=-2:\quad y = x - (2 + (-2)) = x,
k=0:\quad y = x - 2,
k=2:\quad y = x - 4.
No plano xy, trace essas três retas, todas com inclinação 1 e deslocadas verticalmente.

Passo 4

Agora, cada reta obtida para k deve ser “erguida” até a altura z=k. Assim:
  • A reta y=x fica a z=-2.
  • A reta y=x-2 fica a z=0.
  • A reta y=x-4 fica a z=2.
Unindo suavemente essas retas deslocadas, visualiza-se uma superfície plana inclinada. Para auxiliar, note os interceptos desta reta no espaço: (0,0,z=-2), (2,0,0) e (0,-2,0). Esses três pontos definem o plano.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=x-y-2 é o plano
z = x - y - 2,
cujo esboço se obtém desenhando retas paralelas y = x - (2+k) no plano xy e elevando cada reta até a altura z=k.

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