Determine utilizando a lei de Gauss o campo elétrico a uma distância
de uma linha de cargas positivas de comprimento infinito e carga constante por unidade de comprimento
. O que ocorreria se o segmento de linha neste exemplo não fosse infinitamente longo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o campo elétrico a uma distância $ r $ de uma linha infinita de cargas positivas, usando a Lei de Gauss. Para isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss e como aplicá-la a uma distribuição de carga contínua, como essa linha de carga com densidade linear $ \lambda $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \epsilon_0 $ (permitividade do vácuo). Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Agora, para aplicar a Lei de Gauss a esse problema, precisamos escolher uma superfície gaussiana que simplifique os cálculos. Como temos uma linha infinita de carga, a simetria do problema é cilíndrica. Então, vamos imaginar um cilindro coaxial com a linha de carga, com raio $ r $ e comprimento $ L $.
Passo 4
Vamos calcular o fluxo elétrico através desse cilindro. Devido à simetria, o campo elétrico $ \vec{E} $ é perpendicular à superfície lateral do cilindro e tem o mesmo valor em toda a superfície. Nas bases do cilindro (as duas tampas), o campo elétrico é paralelo à área, então não contribuem para o fluxo.
Então, o fluxo total é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a carga total dentro do cilindro. Como a linha de carga tem densidade linear $ \lambda $, a carga total $ Q_{interno} $ é:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Podemos simplificar cancelando $ L $ dos dois lados:
Passo 7
Resolvendo para $ E $:
Passo 8
Então, o campo elétrico a uma distância $ r $ da linha infinita de carga é dado por:
Passo 9
Agora, vamos pensar no que aconteceria se a linha de carga não fosse infinitamente longa. Se a linha tivesse um comprimento finito, a simetria radial seria quebrada, e o campo elétrico não seria mais apenas radialmente simétrico. Isso tornaria a aplicação da Lei de Gauss muito mais complicada, e o campo elétrico dependeria da posição ao longo da linha de carga, exigindo métodos mais complexos para ser calculado.
Resposta
O campo elétrico a uma distância $ r $ de uma linha infinita de cargas positivas com densidade linear $ \lambda $ é:
Se a linha de carga não fosse infinita, a simetria radial seria perdida, complicando o cálculo do campo elétrico.