Uma esfera sólida isolante de raio a tem uma densidade volumétrica de carga uniforme rho e carga total positiva Q. Suponha que a posição r=a sea aproximada dentro da esfera. Obteremos o mesmo valor de campo elétrico nos dois sentidos? (Utilize a Lei de Gauss).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o campo elétrico numa esfera sólida isolante com carga distribuída de forma uniforme. A gente precisa usar a Lei de Gauss para resolver isso. Basicamente, vamos entender como a carga dentro da esfera influencia o campo elétrico em diferentes pontos, especialmente na posição r = a, que está na borda da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. Matematicamente, é:
oint E cdot dA = Qdentrovarepsilon0
Aqui, E é o campo elétrico e Qdentro é a carga total dentro da superfície gaussiana.

Passo 3

Como a distribuição de carga é uniforme na esfera, a densidade de carga volumétrica rho é constante. Sabemos que a carga total Q está distribuída igualmente por todo o volume da esfera. A densidade rho é dada por:
rho = Q43pi a^3

Passo 4

Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana. Para facilitar, escolhemos uma esfera de raio r concêntrica com a esfera carregada. Dependendo de onde r está (dentro ou fora da esfera original), a quantidade de carga dentro da superfície gaussiana muda.

Passo 5

Vamos considerar o ponto r = a, que está exatamente na borda da esfera. Nesse caso, a superfície gaussiana coincide com a superfície da esfera carregada. A carga dentro dessa superfície é exatamente Q, a carga total da esfera.

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss, temos:
E cdot 4pi a^2 = Qvarepsilon0
Aqui, E é o módulo do campo elétrico na superfície.

Passo 7

Isolando E, encontramos:
E = Q4pi varepsilon0 a^2

Passo 8

Agora, sobre a direção do campo elétrico. O campo elétrico aponta radialmente para fora da carga positiva. Isso significa que, para uma esfera carregada positivamente, o campo é igual em magnitude, mas oposto em direção quando considerado ambos os sentidos radiais (para dentro e para fora).

Resposta

Não, o valor do campo elétrico não é o mesmo nos dois sentidos. O campo elétrico na posição r = a tem magnitude E = Q4pi varepsilon0 a^2 e aponta radialmente para fora da esfera.

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