Uma esfera sólida isolante de raio
tem uma densidade volumétrica de carga uniforme
e carga total positiva
. Suponha que a posição
sea aproximada dentro da esfera. Obteremos o mesmo valor de campo elétrico nos dois sentidos? (Utilize a Lei de Gauss).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o campo elétrico numa esfera sólida isolante com carga distribuída de forma uniforme. A gente precisa usar a Lei de Gauss para resolver isso. Basicamente, vamos entender como a carga dentro da esfera influencia o campo elétrico em diferentes pontos, especialmente na posição r = a, que está na borda da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica ε₀. Matematicamente, é:
Aqui,
é o campo elétrico e
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Passo 3
Como a distribuição de carga é uniforme na esfera, a densidade de carga volumétrica
é constante. Sabemos que a carga total Q está distribuída igualmente por todo o volume da esfera. A densidade
é dada por:
Passo 4
Agora, vamos escolher uma superfície gaussiana. Para facilitar, escolhemos uma esfera de raio r concêntrica com a esfera carregada. Dependendo de onde r está (dentro ou fora da esfera original), a quantidade de carga dentro da superfície gaussiana muda.
Passo 5
Vamos considerar o ponto r = a, que está exatamente na borda da esfera. Nesse caso, a superfície gaussiana coincide com a superfície da esfera carregada. A carga dentro dessa superfície é exatamente Q, a carga total da esfera.
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss, temos:
Aqui,
é o módulo do campo elétrico na superfície.
Passo 7
Isolando E, encontramos:
Passo 8
Agora, sobre a direção do campo elétrico. O campo elétrico aponta radialmente para fora da carga positiva. Isso significa que, para uma esfera carregada positivamente, o campo é igual em magnitude, mas oposto em direção quando considerado ambos os sentidos radiais (para dentro e para fora).
Resposta
Não, o valor do campo elétrico não é o mesmo nos dois sentidos. O campo elétrico na posição r = a tem magnitude
e aponta radialmente para fora da esfera.