Prove o seguinte (usando as propriedades P1 a P9 discutidas em sala):
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
Informações dadas e convenções que vou usar:
-
e são símbolos que representam números (podem ser reais, complexos etc.). -
é um inteiro positivo, isto é, e . - A soma do lado direito tem exatamente
termos: do termo com potência até o termo com potência . - O objetivo é mostrar que os dois lados são iguais para todo
e todo .
Passo 2
Vou introduzir uma notação compacta para a soma que aparece no fator do lado direito. Defina
Explicando essa notação: o índice
varia de
até
. Para cada
,
o termo correspondente é . Quando
obtém-se
e quando
obtém-se
.
o termo correspondente é
Passo 3
Agora calculemos o produto
. Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (uma das propriedades básicas: multiplicar cada termo da soma por
e somar os resultados), tem-se
Aqui usei que multiplicar por uma diferença dá a diferença dos produtos:
.
Passo 4
Vamos escrever explicitamente
e
usando a definição de
. Primeiro,
Isso significa, termo a termo,
Analogamente,
ou seja,
Passo 5
Subtraindo termo a termo
de
(isto é, formando
), vemos que muitos termos se cancelam. Escrevendo as duas somas alinhadas:
Ao subtrair, cada termo em comum aparece com sinais opostos e cancela:
cancela,
cancela, e assim por diante até
cancelar. O que sobra da subtração é apenas o primeiro termo de
e o último termo de
. Portanto
Passo 6
Conectando com o que fizemos antes: lembrando que
, obtemos
Substituindo a definição de
de volta, isto é,
que é exatamente a identidade que queríamos provar.
Passo 7
Para fixar a intuição, veja um exemplo concreto com
. A soma
é
. Calculando
:
onde os termos do meio se cancelam exatamente como no caso geral. Isso ilustra o cancelamento telescópico usado na prova.