Prove o seguinte (usando as propriedades P1 a P9 discutidas em sala):
x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2} \cdot y+\cdots+x \cdot y^{n-2}+y^{n-1}\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
x^{n}-y^{n}=(x-y)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}\,y+\cdots+x\,y^{n-2}+y^{n-1}\bigr).
Informações dadas e convenções que vou usar:
  • x e y são símbolos que representam números (podem ser reais, complexos etc.).
  • n é um inteiro positivo, isto é, n\in\mathbb{N} e n\ge 1.
  • A soma do lado direito tem exatamente n termos: do termo com potência x^{n-1} até o termo com potência y^{n-1}.
  • O objetivo é mostrar que os dois lados são iguais para todo x,y e todo n\ge 1.

Passo 2

Vou introduzir uma notação compacta para a soma que aparece no fator do lado direito. Defina
S=\sum_{k=0}^{n-1} x^{\,n-1-k}y^{\,k}=x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+x\,y^{n-2}+y^{n-1}.
Explicando essa notação: o índice k varia de 0 até n-1. Para cada k,
o termo correspondente é x^{\,n-1-k}y^{\,k}. Quando k=0 obtém-se x^{n-1} e quando k=n-1 obtém-se y^{n-1}.

Passo 3

Agora calculemos o produto (x-y)S. Usando a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (uma das propriedades básicas: multiplicar cada termo da soma por x-y e somar os resultados), tem-se
(x-y)S = xS - yS.
Aqui usei que multiplicar por uma diferença dá a diferença dos produtos: (x-y)S = x\cdot S - y\cdot S.

Passo 4

Vamos escrever explicitamente xS e yS usando a definição de S. Primeiro,
xS = x\sum_{k=0}^{n-1} x^{\,n-1-k}y^{\,k}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{\,n-k}y^{\,k}.
Isso significa, termo a termo,
xS = x^{n}+x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+x^{2}y^{n-2}+x\,y^{n-1}.
Analogamente,
yS = y\sum_{k=0}^{n-1} x^{\,n-1-k}y^{\,k}=\sum_{k=0}^{n-1} x^{\,n-1-k}y^{\,k+1},
ou seja,
yS = x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+x\,y^{n-1}+y^{n}.

Passo 5

Subtraindo termo a termo yS de xS (isto é, formando xS-yS), vemos que muitos termos se cancelam. Escrevendo as duas somas alinhadas:
\begin{aligned} xS &= x^{n}+x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+x\,y^{n-1},\\\ yS &= \phantom{x^{n}+{}}x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+x\,y^{n-1}+y^{n}. \end{aligned}
Ao subtrair, cada termo em comum aparece com sinais opostos e cancela: x^{n-1}y cancela, x^{n-2}y^{2} cancela, e assim por diante até x\,y^{n-1} cancelar. O que sobra da subtração é apenas o primeiro termo de xS e o último termo de -yS. Portanto
xS-yS = x^{n}-y^{n}.

Passo 6

Conectando com o que fizemos antes: lembrando que (x-y)S = xS-yS, obtemos
(x-y)S = x^{n}-y^{n}.
Substituindo a definição de S de volta, isto é,
(x-y)\Bigl(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+x\,y^{n-2}+y^{n-1}\Bigr)=x^{n}-y^{n},
que é exatamente a identidade que queríamos provar.

Passo 7

Para fixar a intuição, veja um exemplo concreto com n=4. A soma S é x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}. Calculando (x-y)S:
(x-y)S = (x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+x y^{3})-(x^{3}y+x^{2}y^{2}+x y^{3}+y^{4})=x^{4}-y^{4},
onde os termos do meio se cancelam exatamente como no caso geral. Isso ilustra o cancelamento telescópico usado na prova.

Resposta

x^{n}-y^{n}=(x-y)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+x\,y^{n-2}+y^{n-1}\bigr).

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