Prove o seguinte:
\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|} se x \neq 0. (A melhor forma de provar isso é lembrando o que significa |x|^{-1}.)

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade
\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}
para x\neq 0. Informações relevantes dadas:
  • Está implícito que x é um número real e x\neq 0, logo o inverso multiplicativo x^{-1} (ou 1/x) existe.
  • O enunciado sugere lembrar o que significa |x|^{-1} (ou seja, o inverso multiplicativo de |x|), o que indica que a prova pode usar propriedades do módulo e do inverso multiplicativo.

Passo 2

Definições e propriedades que vamos usar (explicadas com calma).
  • Definição do valor absoluto (módulo): para todo real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Isto garante que |y|\ge 0\] para todo \(y, e |y|=0 sse y=0.
  • Definição do inverso multiplicativo: para y\neq 0, y^{-1} (ou 1/y) é o número real tal que
y\cdot y^{-1}=1.
  • Observação imediata: se x\neq 0 então |x|>0, logo |x| tem inverso multiplicativo |x|^{-1} bem definido e |x|^{-1}=\dfrac{1}{|x|}.]

Passo 3

Propriedade crucial: a multiplicatividade do módulo, isto é, para quaisquer reais a e b vale
|ab|=|a|\,|b|.
Vamos provar essa propriedade de forma rápida e clara. Começo notando que para qualquer t\in\mathbb{R} vale |t|^2=t^2, porque se t\ge0 então |t|=t e |t|^2=t^2; se t<0 então |t|=-t e |t|^2=(-t)^2=t^2. Assim,
|ab|^2=(ab)^2=a^2b^2=|a|^2|b|^2.
Agora, ambos os lados são números não negativos (quadrados), e a raiz quadrada não-negativa é única; portanto tomando raiz quadrada em ambos os lados obtemos
|ab|=|a|\,|b|.
(Isto é legítimo porque |ab|\ge0 e |a|\,|b|\ge0.)

Passo 4

Aplicando a propriedade ao produto x\cdot x^{-1}. Como x\neq 0 temos x^{-1}=1/x e x\cdot x^{-1}=1. Tomando módulo em ambos os lados e usando a multiplicatividade do módulo:
|x\,x^{-1}|=|1|.
Pelo que provamos em

Passo 5

|x|\,|x^{-1}|=|1|.
Mas |1|=1. Assim
|x|\,|x^{-1}|=1.
Como x\neq 0 implica |x|>0, podemos dividir ambos os lados por |x| e obter
|x^{-1}|=\frac{1}{|x|}.
Lembrando que x^{-1}=\dfrac{1}{x}, isto é exatamente
\left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|},
para todo x\neq 0.

Passo 6

(Comentário opcional curto para intuição — posso pular na prova, mas serve para fixar.) Uma maneira mais direta e elementar de ver a mesma coisa é separar os dois casos x>0 e x<0:
  • Se x>0 então |x|=x e \left|\dfrac{1}{x}\right|=\dfrac{1}{x}, logo \left|\dfrac{1}{x}\right|=\dfrac{1}{|x|}.
  • Se x<0 então |x|=-x e \dfrac{1}{x}<0, logo \left|\dfrac{1}{x}\right|=-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{-x}=\dfrac{1}{|x|}.
    Ambas as abordagens dão a mesma igualdade já demonstrada de forma geral no passo anterior.

Resposta

\left|\dfrac{1}{x}\right|=\dfrac{1}{|x|} para todo x\neq 0.

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