Determine o valor de

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x+1, & x <= a, x^2, & x > a,
e pede o valor de a para que f seja contínua em todo o domínio. O conteúdo é continuidade de função definida por partes: como cada ramo é polinômio (logo contínuo), só precisamos checar a continuidade em x=a.

Passo 2

Para f ser contínua em x=a devemos ter
limxto a^-f(x)=f(a)=limxto a^+f(x)

Passo 3

O valor em x=a e o limite pela esquerda são dados pelo primeiro ramo:
f(a)=a+1, limxto a^-f(x)=a+1

Passo 4

O limite pela direita vem do segundo ramo:
limxto a^+f(x)=limxto a^+x^2=a^2

Passo 5

Igualando as expressões para impor continuidade:
a+1 = a^2 Long<=ftrightarrow a^2 - a - 1 = 0

Passo 6

Resolvendo a quadrática
a = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52

Resposta

a = 1+raiz52 ou a = 1-raiz52

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