Determine o valor de a (ou a e b ) para que a função dada seja contínua:
f(x)=cca x+b, & x <= 0 x^2+3 a-b, & 0<x >= 2 3 x-5, & x>2

Passo 1

O enunciado define uma função peça-por-peça
f(x)= a x + b, & x <= 0, x^2 + 3a - b, & 0 < x <= 2, 3x - 5, & x > 2,
e pede os valores de a (e b) que tornam f contínua em todos os x. Para isso vamos usar que, em cada ponto de quebra ( x=0 e x=2), o limite à esquerda deve igualar o limite à direita (e ao valor da própria função).

Passo 2

Continuidade em x=0:
limite à esquerda
limxto0^-f(x)=acdot0 + b = b,
limite à direita
limxto0^+f(x)=0^2 + 3a - b = 3a - b,
e f(0)=b. Igualando
b = 3a - b Longrightarrow 2b = 3a Longrightarrow b = tfrac3a2

Passo 3

Continuidade em x=2:
limite à esquerda
limxto2^-f(x)=2^2 + 3a - b = 4 + 3a - b,
limite à direita
limxto2^+f(x)=3cdot2 - 5 = 6 - 5 = 1,
e f(2)=4 + 3a - b. Igualando
4 + 3a - b = 1 Longrightarrow 3a - b = -3

Passo 4

Substituindo b = tfrac3a2 na equação 3a - b = -3:
3a - 3a2 = -3 Longrightarrow 3a2 = -3 Longrightarrow a = -2
Então
b = 3(-2)2 = -3

Resposta

a = -2 e b = -3.

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