Determine o valor de:
(0,2)^{3}+(0,32)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
(0,2)^{3} + (0,32)^{2}.
Informações dadas:
  • O primeiro número é 0,2.
  • O segundo número é 0,32.
    A tarefa é determinar o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Primeiro, converte-se cada decimal em fração para facilitar o trabalho com potências e somas.
  • 0,2 tem uma casa decimal, logo
0,2=\frac{2}{10}.
Simplificando por 2,
0,2=\frac{1}{5}.
  • 0,32 tem duas casas decimais, logo
0,32=\frac{32}{100}.
Simplificando por 4,
0,32=\frac{8}{25}.
Breve explicação (por que isso vale): cada casa decimal move o divisor por potências de 10. Uma casa decimal = dividir por 10, duas casas = dividir por 100. Depois simplifica-se a fração dividindo numerador e denominador pelo maior divisor comum.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potências para frações: para inteiros a,b e n natural,
\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}.
Aplicando a regra aos nossos termos:
(0,2)^{3}=\left(\frac{1}{5}\right)^{3}=\frac{1^{3}}{5^{3}}=\frac{1}{125}.
(0,32)^{2}=\left(\frac{8}{25}\right)^{2}=\frac{8^{2}}{25^{2}}=\frac{64}{625}.

Passo 4

Para somar as duas frações é conveniente usar um denominador comum. Observa-se que 625=5^{4} e 125=5^{3}, então um denominador comum é 625. Convertemos \dfrac{1}{125} para denominador 625 multiplicando numerador e denominador por 5:
\frac{1}{125}=\frac{1\cdot5}{125\cdot5}=\frac{5}{625}.

Passo 5

Somamos as frações com mesmo denominador:
\frac{5}{625}+\frac{64}{625}=\frac{5+64}{625}=\frac{69}{625}.
Verificação de simplificação: 69=3\cdot23 e 625=5^{4}, não têm fatores comuns além de 1, portanto a fração já está irredutível.

Passo 6

Transformando \dfrac{69}{625} em decimal de forma rápida: multiplicando numerador e denominador por 16 obtém-se denominador 10000,
\frac{69}{625}=\frac{69\cdot16}{625\cdot16}=\frac{1104}{10000}=0,1104.
Observação: multiplicou-se por 16 porque 625\cdot16=10000, o que facilita a escrita decimal (quatro casas).

Resposta

\dfrac{69}{625}
0,1104

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