Determine o valor de:
\left(2^{2} \cdot 2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 3^{3}\right)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor da expressão
\left(2^{2} \cdot 2^{-3} \cdot 3^{-1} \cdot 3^{3}\right)^{2}.
Informações dadas: os fatores dentro dos parênteses são potências de base 2 e 3 com expoentes positivos e negativos. A tarefa é simplificar essa expressão passo a passo e obter um número final.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Regra do produto de potências de mesma base: se as bases são iguais, multiplicar significa somar os expoentes:
a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},
onde a é a base e m,n são expoentes.
  • Expoente negativo: uma potência com expoente negativo equivale ao inverso da potência com expoente positivo:
a^{-k}=\frac{1}{a^{k}},
onde k>0.
  • Potência de um produto (ou quociente): elevar um produto ao quadrado é elevar cada fator ao quadrado:
(ab)^{2}=a^{2}b^{2},
e de modo geral (a/b)^{n}=a^{n}/b^{n}.
Essas regras bastam para simplificar a expressão.

Passo 3

Aplicar a regra do produto para as potências de base 2:
2^{2}\cdot 2^{-3}=2^{2+(-3)}=2^{-1}.
Interpretação: somaram-se os expoentes 2 e -3 obtendo -1; isso significa 2^{-1}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto para as potências de base 3:
3^{-1}\cdot 3^{3}=3^{-1+3}=3^{2}.
E 3^{2}=9.

Passo 5

Substituir as simplificações obtidas dentro dos parênteses:
2^{-1}\cdot 3^{2}=\frac{1}{2}\cdot 9=\frac{9}{2}.
Portanto o que está dentro dos parênteses vale \dfrac{9}{2}.

Passo 6

Agora elevar ao quadrado o resultado \dfrac{9}{2}. Usando (a/b)^{2}=a^{2}/b^{2}:
\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{9^{2}}{2^{2}}=\frac{81}{4}.

Resposta

\dfrac{81}{4}

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