Determine o valor de:
\frac{5^{-1}+7^{-1}}{3^{-1}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{5^{-1}+7^{-1}}{3^{-1}}.
Informações dadas: os expoentes são negativos e aparecem as potências 5^{-1}, 7^{-1} e 3^{-1}. A tarefa é simplificar essa expressão até obter um número exato.

Passo 2

Entender a propriedade de expoente negativo que vamos usar: para qualquer número não nulo a vale
a^{-1}=\frac{1}{a}.
Aplicando essa regra a cada termo da expressão, obtemos:
5^{-1}=\frac{1}{5},\qquad 7^{-1}=\frac{1}{7},\qquad 3^{-1}=\frac{1}{3}.
Substituindo na expressão inicial:
\frac{5^{-1}+7^{-1}}{3^{-1}}=\frac{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{7}}{\dfrac{1}{3}}.

Passo 3

Somar as frações do numerador. Para somar \dfrac{1}{5} e \dfrac{1}{7} usamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores, que é 35. Convertemos cada parcela para denominador 35:
\frac{1}{5}=\frac{7}{35},\qquad \frac{1}{7}=\frac{5}{35}.
Somando:
\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{7}{35}+\frac{5}{35}=\frac{12}{35}.
Agora a expressão ficou
\frac{\dfrac{12}{35}}{\dfrac{1}{3}}.

Passo 4

Divisão por uma fração: para dividir por \dfrac{1}{3} multiplicamos pelo inverso dessa fração. A regra geral é
\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}.
Aplicando aqui:
\frac{\dfrac{12}{35}}{\dfrac{1}{3}}=\frac{12}{35}\cdot 3.
Efetuando a multiplicação:
\frac{12}{35}\cdot 3=\frac{36}{35}.
Não há simplificação adicional porque \gcd(36,35)=1.

Passo 5

Interpretação final: a fração imprópria \dfrac{36}{35} também pode ser escrita como número misto:
\frac{36}{35}=1\frac{1}{35},
mas a forma exata preferível é a fração imprópria.

Resposta

\frac{36}{35}

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