Determine o valor de:
\left[\left(-\frac{1}{4}\right)^{4}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}\right] \cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{6}+2^{-6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\left[\left(-\frac{1}{4}\right)^{4}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}\right]\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)^{6}+2^{-6}.
As informações que temos diretamente do enunciado são os expoentes e as frações dentro da expressão: \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{4}, \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}, \left(-\dfrac{1}{6}\right)^{6} e 2^{-6}. A operação interna principal é: calcular a divisão dentro dos colchetes, multiplicar pelo termo \left(-\dfrac{1}{6}\right)^{6} e, por fim, somar 2^{-6}.

Passo 2

Vamos calcular \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{4}. Regra que vou usar: para qualquer número real a e inteiro n\ge0,
(a)^n = a\cdot a\cdots a \quad (n\\ \text{vezes}).
Além disso, se a base é negativa, o sinal do resultado depende da paridade do expoente: expoente par → resultado positivo; expoente ímpar → resultado negativo.
Como o expoente aqui é 4 (par),
\left(-\frac{1}{4}\right)^{4} = \frac{1}{4^{4}} = \frac{1}{256}.

Passo 3

Agora calculo \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{3}. O expoente 3 é ímpar, então o sinal será negativo. Também uso que \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}. Portanto
\left(-\frac{1}{2}\right)^{3} = -\frac{1}{8}.

Passo 4

Agora faço a divisão dentro dos colchetes:
\left(-\frac{1}{4}\right)^{4}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{256} \div \left(-\frac{1}{8}\right).
Usando a regra da divisão de frações (dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso dessa fração):
\frac{1}{256} \div \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{256}\cdot\left(-\frac{8}{1}\right) = -\frac{8}{256}.
Simplificando -\dfrac{8}{256} = -\dfrac{1}{32}, pois 8/256=1/32. Logo o valor dos colchetes é
\left[\left(-\frac{1}{4}\right)^{4}:\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}\right] = -\frac{1}{32}.

Passo 5

Calculo \left(-\dfrac{1}{6}\right)^{6}. O expoente 6 é par, então o sinal é positivo. Também uso que 6^{6}=46656. Assim
\left(-\frac{1}{6}\right)^{6} = \frac{1}{6^{6}} = \frac{1}{46656}.

Passo 6

Multiplico o resultado dos colchetes por \left(-\dfrac{1}{6}\right)^{6}:
-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{46656} = -\frac{1}{32\cdot 46656}.
Agora calculo 32\cdot 46656. Uma forma prática é decompor:
32\cdot 46656 = 32\cdot(46000+656)=32\cdot46000+32\cdot656=1\,472\,000+20\,992=1\,492\,992.
Portanto
-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{46656} = -\frac{1}{1\,492\,992}.

Passo 7

Calculo 2^{-6}. Regra de expoente negativo: para a\neq0 e inteiro n>0,
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}.
Assim
2^{-6}=\frac{1}{2^{6}}=\frac{1}{64}.

Passo 8

Agora somo os dois termos obtidos:
-\frac{1}{1\,492\,992}+\frac{1}{64}.
Para somar frações faço o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Observação útil: 1\,492\,992 = 64\cdot 23\,328 (isso vem do cálculo inverso que fizemos antes: 23\,328\cdot64=1\,492\,992). Então coloco o denominador comum 1\,492\,992:
\frac{1}{64} = \frac{23\,328}{1\,492\,992}.
Portanto a soma é
-\frac{1}{1\,492\,992}+\frac{23\,328}{1\,492\,992}=\frac{23\,328-1}{1\,492\,992}=\frac{23\,327}{1\,492\,992}.

Passo 9

Verifico se a fração pode ser simplificada. Uso o algoritmo de Euclides para o máximo divisor comum (MDC) entre 23\,327 e 1\,492\,992.
Calculos rápidos:
1\,492\,992 = 23\,327\cdot 64 + 64,
então resto 64.
23\,327 = 64\cdot 364 + 31,
resto 31.
64 = 31\cdot 2 + 2,
resto 2.
31 = 2\cdot 15 + 1,
resto 1.
2 = 1\cdot 2 + 0.
O último resto não-nulo é 1, então \gcd(23\,327,1\,492\,992)=1. A fração é irredutível.

Resposta

\dfrac{23327}{1492992}

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