Determine o valor de \alpha tal que:
\alpha=\log _{5} 625

Passo 1

O enunciado dá a expressão \alpha=\log_{5}625 e pede para determinar o valor de \alpha.
Informações relevantes: o logaritmo apresentado tem base \,5 e argumento 625.

Passo 2

Definição útil (essa é a ferramenta básica): por definição, se \,y=\log_{a}b então isso significa exatamente que
a^{y}=b.
Aqui a é a base do logaritmo, b é o argumento, e y é o valor do logaritmo.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: \alpha=\log_{5}625 é equivalente a escrever
5^{\alpha}=625.
Ou seja, queremos achar qual expoente \alpha faz 5 elevado a esse expoente resultar em 625.

Passo 4

Vamos ver potências de 5 para identificar 625:
5^{1}=5, \qquad 5^{2}=25, \qquad 5^{3}=125, \qquad 5^{4}=625.
Como 5^{4}=625, pela equivalência do Passo 3 temos
5^{\alpha}=5^{4}\quad\Rightarrow\quad \alpha=4.

Passo 5

Método alternativo (propriedade dos logaritmos), só para reforçar a ideia: como 625=5^{4}, usando \log em qualquer base válida,
\log_{5}625=\log_{5}5^{4}=4\log_{5}5=4\cdot 1=4.
Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\alpha=4

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