Supondo que
, e
são vetores LI, mostre que os vetores
são LI.
Passo 1
O enunciado afirma que
,
e
são vetores linearmente independentes e pede para mostrar que os vetores
também formam um conjunto linearmente independente. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: uma combinação linear nula só ocorre se todos os coeficientes forem zero.
Passo 2
Suponha que existam escalares
,
e
tais que
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Expandindo e agrupando termos em
,
e
, obtemos
Como
,
e
são LI, cada coeficiente deve ser zero:
Passo 4
Da terceira equação vem
. Substituindo em
e
ficamos com
Somando essas duas dá
, logo
, e daí
. Assim
.
Resposta
Os únicos escalares que anulam a combinação são nulos, logo
é linearmente independente.