Supondo que u, v, e w são vetores LI, mostre que os vetores u+v, u-v, e u-2 v+w são LI.

Passo 1

O enunciado afirma que u, v e w são vetores linearmente independentes e pede para mostrar que os vetores
u+v, u-v, u-2v+w
também formam um conjunto linearmente independente. O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: uma combinação linear nula só ocorre se todos os coeficientes forem zero.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha, beta e gamma tais que
alpha,(u+v);+;beta,(u-v);+;gamma,(u-2v+w);=;0
Nosso objetivo é mostrar que alpha=beta=gamma=0.

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em u, v e w, obtemos
alpha u + alpha v + beta u - beta v + gamma u -2gamma v + gamma w =(alpha+beta+gamma),u ;+;(alpha-beta-2gamma),v ;+;gamma,w ;=;0
Como u, v e w são LI, cada coeficiente deve ser zero:
alpha+beta+gamma=0, alpha-beta-2gamma=0, gamma=0

Passo 4

Da terceira equação vem gamma=0. Substituindo em
alpha+beta+gamma=0 e alpha-beta-2gamma=0 ficamos com
alpha+beta=0, alpha-beta=0
Somando essas duas dá 2alpha=0, logo alpha=0, e daí beta=0. Assim alpha=beta=gamma=0.

Resposta

Os únicos escalares que anulam a combinação são nulos, logo ,u+v,;u-v,;u-2v+w é linearmente independente.

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