Determine o valor aproximado da trix quadrada de 3 , com erro menor ou igual a 10^-2.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar a raiz quadrada de 3 (ou seja, ) com erro menor ou igual a .
Conteúdo: vamos usar o Método de Newton (ou Método de Newton–Raphson) para encontrar raízes de equações.
O que precisamos:
  1. Definir uma função cuja raiz seja .
  2. Saber a fórmula iterativa do Método de Newton.

Passo 2

Teoria rapidinha do Método de Newton:
Se a gente tem uma função xn+1 = xn ;-;f(xn)f'(xn) e quer achar tal que , começa com um palpite e aplica a iteração
Isso vai nos levar, a cada passo, a um valor mais próximo da raiz de .

Passo 3

No nosso caso queremos f(x) = x^2 - 3, f'(x) = 2x . Então basta escolher
xn+1 = xn - xn^2 - 32xn = xn + 3xn2
A fórmula de Newton vira
Agora é só escolher um chute inicial razoável, digamos , e iterar.

Passo 4

Vamos calcular até garantir que a diferença entre iterações seja x1 = 2 + tfrac322 = 2 + 1.52 = 1.75 :
  • Iteração 1:
    x2 = 1.75 + tfrac31.752 = 1.75 + 1.7142857ldots2 approx 1.73214285
    Diferença x3 = 1.73214285 + tfrac31.732142852 approx 1.73205081 (ainda > 0.01).
  • Iteração 2:
    Diferença (ainda > 0.01).
  • Iteração 3:
    Diferença (< 0.01).
Pronto! Na terceira iteração a mudança foi menor que .

Resposta

(erro ).

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