Determine o volume da esfera de raio igual a 5 cm através da primeira regra de Simpson com 5 pontos. Sugestão: Determine o volume de
da esfera, e depois multiplique por 4. Equação da banda superior de uma esfera de raio R:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para calcular o volume de uma esfera com raio de 5 cm usando a primeira regra de Simpson com 5 pontos. Isso envolve conceitos de cálculo integral e métodos numéricos. Vamos precisar entender a equação da esfera e como aplicar a regra de Simpson para aproximar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em calcular o volume de um quarto da esfera. A equação da banda superior de uma esfera de raio $ R $ é dada por:
Esse $ y $ representa a altura da banda em qualquer ponto $ x $.
Passo 3
Para encontrar o volume de um quarto da esfera, usamos a fórmula do volume de revolução:
Substituindo $ y $:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com 5 pontos para aproximar essa integral. A Regra de Simpson requer que dividamos o intervalo
em um número par de subintervalos. Como temos 5 pontos, isso significa 4 subintervalos.
Passo a passo:
- Determinar os pontos: Com $ R = 5 $ cm e 4 subintervalos, o tamanho de cada passo $ h $ é:
- Identificar os pontos: $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 1.25 $, $ x_2 = 2.5 $, $ x_3 = 3.75 $, $ x_4 = 5 $
Passo 5
Agora, calculamos $ y $ para cada ponto:
Calculando:
- $ y_0 = \sqrt{25 - 0} = 5 $
- $ y_1 = \sqrt{25 - (1.25)^2} \approx \sqrt{25 - 1.5625} \approx 4.781 $
- $ y_2 = \sqrt{25 - (2.5)^2} = \sqrt{25 - 6.25} = 4.330 $
- $ y_3 = \sqrt{25 - (3.75)^2} \approx \sqrt{25 - 14.0625} \approx 3.0 $
- $ y_4 = \sqrt{25 - 25} = 0 $
Passo 6
Em seguida, calculamos $ y_i^2 $:
- $ y_0^2 = 25 $
- $ y_1^2 \approx 22.88 $
- $ y_2^2 = 18.75 $
- $ y_3^2 \approx 9 $
- $ y_4^2 = 0 $
Passo 7
Aplicamos a Regra de Simpson:
Onde $ f(x) = \pi (R^{2} - x^{2}) = \pi y^2 $
Substituindo:
Passo 8
Vamos calcular os termos dentro dos colchetes:
Somando tudo:
Passo 9
Agora, multiplicamos pelo fator fora:
Esse é o volume de um quarto da esfera. Para obter o volume total da esfera, multiplicamos por 4:
Resposta
O volume da esfera de raio 5 cm é aproximadamente 316,7 cm³.