Determine o volume da esfera de raio igual a 5 cm através da primeira regra de Simpson com 5 pontos. Sugestão: Determine o volume de 1 / 4 da esfera, e depois multiplique por 4. Equação da banda superior de uma esfera de raio R:
y=raizR^2-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para calcular o volume de uma esfera com raio de 5 cm usando a primeira regra de Simpson com 5 pontos. Isso envolve conceitos de cálculo integral e métodos numéricos. Vamos precisar entender a equação da esfera e como aplicar a regra de Simpson para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em calcular o volume de um quarto da esfera. A equação da banda superior de uma esfera de raio $ R $ é dada por:
R
Esse $ y $ representa a altura da banda em qualquer ponto $ x $.

Passo 3

Para encontrar o volume de um quarto da esfera, usamos a fórmula do volume de revolução:
V = pi integral0^R y^2 dx
Substituindo $ y $:
y

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra de Simpson com 5 pontos para aproximar essa integral. A Regra de Simpson requer que dividamos o intervalo [a, b] em um número par de subintervalos. Como temos 5 pontos, isso significa 4 subintervalos.
Passo a passo:
  1. Determinar os pontos: Com $ R = 5 $ cm e 4 subintervalos, o tamanho de cada passo $ h $ é:
R = 5
  1. Identificar os pontos: $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 1.25 $, $ x_2 = 2.5 $, $ x_3 = 3.75 $, $ x_4 = 5 $

Passo 5

Agora, calculamos $ y $ para cada ponto:
y
Calculando:
  • $ y_0 = \sqrt{25 - 0} = 5 $
  • $ y_1 = \sqrt{25 - (1.25)^2} \approx \sqrt{25 - 1.5625} \approx 4.781 $
  • $ y_2 = \sqrt{25 - (2.5)^2} = \sqrt{25 - 6.25} = 4.330 $
  • $ y_3 = \sqrt{25 - (3.75)^2} \approx \sqrt{25 - 14.0625} \approx 3.0 $
  • $ y_4 = \sqrt{25 - 25} = 0 $

Passo 6

Em seguida, calculamos $ y_i^2 $:
  • $ y_0^2 = 25 $
  • $ y_1^2 \approx 22.88 $
  • $ y_2^2 = 18.75 $
  • $ y_3^2 \approx 9 $
  • $ y_4^2 = 0 $

Passo 7

Aplicamos a Regra de Simpson:
Onde $ f(x) = \pi (R^{2} - x^{2}) = \pi y^2 $
Substituindo:
V approx h3 [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4]

Passo 8

Vamos calcular os termos dentro dos colchetes:
25 + 4(22.88) = 25 + 91.52 = 116.52
2(18.75) = 37.5
4(9) = 36
Somando tudo:
116.52 + 37.5 + 36 = 190.02

Passo 9

Agora, multiplicamos pelo fator fora:
V approx 1.253 times 190.02 approx 0.4167 times 190.02 approx 79.175 , cm^3
Esse é o volume de um quarto da esfera. Para obter o volume total da esfera, multiplicamos por 4:
Vesfera approx 4 times 79.175 approx 316.7 , cm^3

Resposta

O volume da esfera de raio 5 cm é aproximadamente 316,7 cm³.

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