2- Determine o valor de aque torna a matriz singular:
A=\left[\begin{array}{llll} a & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & a & 3 & 2 \\\\ 2 & 3 & a & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & a \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de a que tornam a matriz singular.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & a & 3 & 2 \\\\ 2 & 3 & a & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & a \end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é quadrada de ordem 4.
  • “Tornar singular” significa que a matriz deixa de ser invertível, ou seja, o determinante é zero; equivalentemente existe um vetor não nulo v tal que A v = 0.

Passo 2

Observação útil para simplificar: escrevemos A como soma de a vezes a matriz identidade e uma matriz que contém os demais elementos. Definimos
I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad M=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 0 & 3 & 2 \\\\ 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Então
A = a I + M.
Explicação curta do porquê isso ajuda: se M tem um autovalor \lambda com autovetor v (isto é, M v=\lambda v), então
A v = (aI+M)v = a v + M v = a v + \lambda v = (a+\lambda)v.
Logo, os autovalores de A são exatamente a+\lambda, onde \lambda percorre os autovalores de M. A matriz A será singular se e somente se algum desses autovalores for zero, isto é, se existir \lambda tal que a+\lambda=0, ou seja a=-\lambda.

Passo 3

Vamos então encontrar autovalores de M. Uma estratégia prática aqui é procurar vetores simples com componentes 1 e -1 que diagonalizam ou transformam M de forma fácil — isso funciona porque M tem simetria evidente. Testaremos vetores candidatos e calcularemos M v para obter \lambda.

Passo 4

Teste com v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculamos M v^{(1)} linha a linha (cada entrada é o produto linha de M por v^{(1)}):
  • primeira linha: 0\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot1 + 3\cdot1 = 0+1+2+3 = 6,
  • segunda linha: 1+0+3+2 = 6,
  • terceira linha: 2+3+0+1 = 6,
  • quarta linha: 3+2+1+0 = 6.
Portanto
M v^{(1)} = \begin{pmatrix}6\\\ 6\\\ 6\\\ 6\end{pmatrix} = 6\, v^{(1)}.
Logo \lambda_1 = 6 é autovalor de M.

Passo 5

Teste com v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}.
Calculamos M v^{(2)}:
  • primeira linha: 0\cdot1 + 1\cdot1 + 2\cdot(-1) + 3\cdot(-1) = 1 -2 -3 = -4,
  • segunda linha: 1\cdot1 + 0\cdot1 + 3\cdot(-1) + 2\cdot(-1) = 1 -3 -2 = -4,
  • terceira linha: 2\cdot1 + 3\cdot1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot(-1) = 2+3 -1 = 4,
  • quarta linha: 3\cdot1 + 2\cdot1 + 1\cdot(-1) + 0\cdot(-1) = 3+2 -1 = 4.
Assim
M v^{(2)} = \begin{pmatrix}-4\\\ -4\\\ 4\\\ 4\end{pmatrix} = -4\,\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix} = -4\, v^{(2)}.
Portanto \lambda_2 = -4.

Passo 6

Teste com v^{(3)}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.
Calculamos M v^{(3)}:
  • primeira linha: 0\cdot1 + 1\cdot(-1) + 2\cdot1 + 3\cdot(-1) = -1 +2 -3 = -2,
  • segunda linha: 1\cdot1 + 0\cdot(-1) + 3\cdot1 + 2\cdot(-1) = 1 +3 -2 = 2,
  • terceira linha: 2\cdot1 + 3\cdot(-1) + 0\cdot1 + 1\cdot(-1) = 2 -3 -1 = -2,
  • quarta linha: 3\cdot1 + 2\cdot(-1) + 1\cdot1 + 0\cdot(-1) = 3 -2 +1 = 2.
Temos
M v^{(3)} = \begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ -2\\\ 2\end{pmatrix} = -2\,\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} = -2\, v^{(3)}.
Logo \lambda_3 = -2.

Passo 7

Teste com v^{(4)}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculamos M v^{(4)}:
  • primeira linha: 0\cdot1 + 1\cdot(-1) + 2\cdot(-1) + 3\cdot1 = -1 -2 +3 = 0,
  • segunda linha: 1\cdot1 + 0\cdot(-1) + 3\cdot(-1) + 2\cdot1 = 1 -3 +2 = 0,
  • terceira linha: 2\cdot1 + 3\cdot(-1) + 0\cdot(-1) + 1\cdot1 = 2 -3 +1 = 0,
  • quarta linha: 3\cdot1 + 2\cdot(-1) + 1\cdot(-1) + 0\cdot1 = 3 -2 -1 = 0.
Assim
M v^{(4)} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = 0\cdot v^{(4)}.
Logo \lambda_4 = 0.

Passo 8

Resumo dos autovalores de M:
\lambda \in \{6,\,-4,\,-2,\,0\}.
Como os autovalores de A são a+\lambda, a matriz A será singular se existir \lambda tal que a+\lambda=0, ou seja se
a = -\lambda.
Portanto os valores de a que tornam A singular são os opostos dos autovalores de M:
a \in \{-6,\;4,\;2,\;0\}.

Resposta

-6
0
2
4

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