2- Determine o valor de aque torna a matriz singular:
A=\left[\begin{array}{llll} a & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & a & 3 & 2 \\\\ 2 & 3 & a & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & a \end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de a que tornam a matriz singular.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} a & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & a & 3 & 2 \\\\ 2 & 3 & a & 1 \\\\ 3 & 2 & 1 & a \end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz é quadrada de ordem 4.
“Tornar singular” significa que a matriz deixa de ser invertível, ou seja, o determinante é zero; equivalentemente existe um vetor não nulo v tal que A v = 0.
Passo 2
Observação útil para simplificar: escrevemos A como soma de a vezes a matriz identidade e uma matriz que contém os demais elementos. Definimos
Explicação curta do porquê isso ajuda: se M tem um autovalor \lambda com autovetor v (isto é, M v=\lambda v), então
A v = (aI+M)v = a v + M v = a v + \lambda v = (a+\lambda)v.
Logo, os autovalores de A são exatamente a+\lambda, onde \lambda percorre os autovalores de M. A matriz A será singular se e somente se algum desses autovalores for zero, isto é, se existir \lambda tal que a+\lambda=0, ou seja a=-\lambda.
Passo 3
Vamos então encontrar autovalores de M. Uma estratégia prática aqui é procurar vetores simples com componentes 1 e -1 que diagonalizam ou transformam M de forma fácil — isso funciona porque M tem simetria evidente. Testaremos vetores candidatos e calcularemos M v para obter \lambda.
Passo 4
Teste com v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculamos M v^{(1)} linha a linha (cada entrada é o produto linha de M por v^{(1)}):