Resolva o sistema:
\left\{\begin{array}{c} x+y+z+w+t=8 \\\\ 2 x-y+z+2 w-t=4 \\\ x+3 y-z+w+t=6 \\\\ 3 x+y+2 z-w+t=7 \\\\ 2 x-y+3 z+2 w+t=10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com cinco incógnitas x,y,z,w,t\) e cinco equações. As equações são: \[\begin{cases} x+y+z+w+t=8,\\[4pt] 2x-y+z+2w-t=4,\\[4pt] x+3y-z+w+t=6,\\[4pt] 3x+y+2z-w+t=7,\\[4pt] 2x-y+3z+2w+t=10. \end{cases}
O que o problema pede é encontrar os valores numéricos de x\], \(y, z, w e t que satisfazem simultaneamente todas as cinco equações.]

Passo 2

Escolhi resolver o sistema pelo método da eliminação (eliminação de Gauss), que transforma o sistema numa forma triangular através de operações elementares nas equações (trocar equações, multiplicar uma equação por um número não nulo, somar múltiplos de uma equação a outra). Essas operações não mudam o conjunto de soluções. Depois que a matriz fica triangular, resolve-se por substituição regressiva (back substitution).
Breve lembrete didático sobre operações elementares:
  • Somar a uma linha um múltiplo de outra linha corresponde a combinar as duas equações: a solução não muda.
  • Trocar duas linhas apenas reorganiza as equações.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo apenas reescalona a equação.
    Usando isso, reduzimos o sistema passo a passo.

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação, a coluna extra é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 8\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 2 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 3 & -1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 3 & 1 & 2 & -1 & 1 & 7\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 2 & 1 & 10 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminação da variável x nas equações 2,3,4,5 usando a linha 1 como pivô.
Fazendo R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
R_2=[\,0\;\; -3\;\; -1\;\; 0\;\; -3\;|\;-12\,].
Fazendo R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
R_3=[\,0\;\; 2\;\; -2\;\; 0\;\; 0\;|\;-2\,].
Fazendo R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1:
R_4=[\,0\;\; -2\;\; -1\;\; -4\;\; -2\;|\;-17\,].
Fazendo R_5 \leftarrow R_5 - 2R_1:
R_5=[\,0\;\; -3\;\; 1\;\; 0\;\; -1\;|\;-6\,].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 0 & -3 & -12\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -4 & -2 & -17\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0 & -1 & -6 \end{array}\right]]

Passo 5

Para facilitar a eliminação na coluna y, troco R_2 por R_3 (porque R_3 tem coeficiente 2 em y, número simples de trabalhar):
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -3 & -1 & 0 & -3 & -12\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -4 & -2 & -17\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0 & -1 & -6 \end{array}\right]
Trocar linhas é uma operação permitida e não altera as soluções.]

Passo 6

Eliminação da variável y nas linhas 3,4,5 usando R_2 (que tem 2 em y).
  • Para zerar y em R_3 (que tem -3), faço R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{3}{2}R_2. Cálculo dos coeficientes:
R_3=[\,0\;\;0\;\;-4\;\;0\;\;-3\;|\;-15\,].
  • Para zerar y em R_4 (que tem -2), faço R_4 \leftarrow R_4 + 1\cdot R_2. Resultado:
R_4=[\,0\;\;0\;\;-3\;\;-4\;\;-2\;|\;-19\,].
  • Para zerar y em R_5 (que tem -3), faço R_5 \leftarrow R_5 + \tfrac{3}{2}R_2. Resultado:
R_5=[\,0\;\;0\;\;-2\;\;0\;\;-1\;|\;-9\,].
Agora a matriz é:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 0 & -3 & -15\\[4pt] 0 & 0 & -3 & -4 & -2 & -19\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & -9 \end{array}\right]]

Passo 7

Agora pivotamos na coluna z usando a linha 3, que tem coeficiente -4 em z. Vamos eliminar z nas linhas 4 e 5.
  • Para zerar o z de R_4 (que é -3), usamos o fator \tfrac{3}{4} e fazemos R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{3}{4}R_3. Cálculo (mantendo frações exatas):
R_4=[\,0\;\;0\;\;0\;\;-4\;\;\tfrac{1}{4}\;|\;-\tfrac{31}{4}\,].
  • Para zerar o z de R_5 (que é -2), usamos o fator \tfrac{1}{2} e fazemos R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac{1}{2}R_3. Resultado:
R_5=[\,0\;\;0\;\;0\;\;0\;\;\tfrac{1}{2}\;|\;-\tfrac{3}{2}\,].
A matriz triangularizada (abaixo da diagonal principal zeros) fica:
\left[\begin{array}{ccccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 2 & -2 & 0 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -4 & 0 & -3 & -15\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -4 & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{31}{4}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{3}{2} \end{array}\right]]

Passo 8

A partir da última linha R_5 obtemos t diretamente, porque só aparece t nessa equação.
A equação de R_5 é \tfrac{1}{2}t=-\tfrac{3}{2}. Logo:
t=\frac{-\tfrac{3}{2}}{\tfrac{1}{2}}=-3.

Passo 9

Substituição regressiva: usar t=-3 na equação de R_4 para encontrar w.
A equação de R_4 é -4w+\tfrac{1}{4}t=-\tfrac{31}{4}. Substituindo t=-3:
-4w+\tfrac{1}{4}\cdot(-3)=-\tfrac{31}{4}.
Calculando \tfrac{1}{4}\cdot(-3)=-\tfrac{3}{4}, temos:
-4w-\tfrac{3}{4}=-\tfrac{31}{4}.
Isolando w:
-4w=-\tfrac{31}{4}+\tfrac{3}{4}=-\tfrac{28}{4}=-7,
portanto
w=\frac{-7}{-4}=\tfrac{7}{4}.

Passo 10

Agora uso t e w na equação de R_3 para achar z. A equação de R_3 é -4z-3t=-15. Substituindo t=-3:
-4z-3\cdot(-3)=-15.
Calculando -3\cdot(-3)=9, obtemos:
-4z+9=-15.
Logo
-4z=-24\quad\Rightarrow\quad z=6.

Passo 11

Com z conhecido, uso a equação de R_2 para y. A equação de R_2 é 2y-2z=-2. Substituindo z=6:
2y-2\cdot6=-2.
Então
2y-12=-2\quad\Rightarrow\quad 2y=10\quad\Rightarrow\quad y=5.

Passo 12

Finalmente, uso a primeira equação para x. A equação original R_1 é x+y+z+w+t=8. Substituindo y=5, z=6, w=\tfrac{7}{4}, t=-3:
x+5+6+\tfrac{7}{4}-3=8.
Somando os termos constantes: 5+6-3=8, portanto
x+8+\tfrac{7}{4}=8\quad\Rightarrow\quad x+\tfrac{39}{4}=8.
Logo
x=8-\tfrac{39}{4}=\tfrac{32}{4}-\tfrac{39}{4}=-\tfrac{7}{4}.

Passo 13

Resumo dos resultados obtidos (valores exatos em frações):
x=-\tfrac{7}{4},\quad y=5,\quad z=6,\quad w=\tfrac{7}{4},\quad t=-3.

Resposta

\displaystyle x=-\tfrac{7}{4}
\displaystyle y=5
\displaystyle z=6
\displaystyle w=\tfrac{7}{4}
\displaystyle t=-3

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