Questão 1: (5 pts) Dadas as bases \beta^{\prime}=\{(1,1),(2,-1)\}, \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}, e T: \mathbf{R}^{2} \longrightarrow \mathbf{R}^{3} uma transformação lincar tal que T(1,1)=(1,2,4) e T(2,-1)=(4,-1,3).
a) (4 pts) Encontre T(x, y)
b) (1 \mathrm{pts}) \mathrm{T}(-1,2).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A base canônica de \mathbf{R}^3 é \beta=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.
  • A base \beta' de \mathbf{R}^2 é \beta'=\{(1,1),(2,-1)\}.
  • A transformação linear T:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^3 satisfaz T(1,1)=(1,2,4),\qquad T(2,-1)=(4,-1,3).
O enunciado pede:
(a) Encontrar a expressão de T(x,y) para um vetor arbitrário (x,y)\in\mathbf{R}^2.
(b) Calcular T(-1,2).

Passo 2

Ideia principal (intuição didática):
Uma transformação linear é determinada quando se sabe sua ação sobre uma base do domínio. Aqui sabemos T em relação à base \beta'=\{v_1,v_2\} com v_1=(1,1) e v_2=(2,-1). Para obter T(x,y) para qualquer (x,y) devemos:
  1. Escrever (x,y) como combinação linear dos vetores da base \beta': encontrar escalares a e b tais que (x,y)=a(1,1)+b(2,-1).
  2. Usar linearidade: T(x,y)=a\,T(1,1)+b\,T(2,-1).
Então o passo chave é resolver para a e b em termos de x e y.

Passo 3

Escrever a condição de combinação linear e resolver para [a) e b.
Da igualdade
(x,y)=a(1,1)+b(2,-1)
obtemos o sistema por coordenadas:
\begin{cases} a+2b = x,\\[4pt] a - b = y. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(a+2b)-(a-b)=x-y \quad\Rightarrow\quad 3b = x-y.
Logo
b=\dfrac{x-y}{3}.
Agora substituindo em (a-b=y]:
a = y + b = y + \dfrac{x-y}{3} = \dfrac{3y + x - y}{3} = \dfrac{x+2y}{3}.
Portanto as coordenadas de (x,y) na base \beta' são
a=\dfrac{x+2y}{3},\qquad b=\dfrac{x-y}{3}.]

Passo 4

Aplicar linearidade para obter T(x,y).
Usando
T(x,y)=a\,T(1,1)+b\,T(2,-1)
e substituindo T(1,1)=(1,2,4), T(2,-1)=(4,-1,3) e os valores de a e b, obtemos componente a componente:
Primeira componente:
\begin{aligned} T_1(x,y) &= a\cdot 1 + b\cdot 4 \\\ &= \dfrac{x+2y}{3} + 4\cdot\dfrac{x-y}{3} \\\ &= \dfrac{x+2y + 4x - 4y}{3} \\\ &= \dfrac{5x - 2y}{3}. \end{aligned}
Segunda componente:
\begin{aligned} T_2(x,y) &= a\cdot 2 + b\cdot (-1) \\\ &= 2\cdot\dfrac{x+2y}{3} - \dfrac{x-y}{3} \\\ &= \dfrac{2x+4y - x + y}{3} \\\ &= \dfrac{x + 5y}{3}. \end{aligned}
Terceira componente:
\begin{aligned} T_3(x,y) &= a\cdot 4 + b\cdot 3 \\\ &= 4\cdot\dfrac{x+2y}{3} + 3\cdot\dfrac{x-y}{3} \\\ &= \dfrac{4x+8y + 3x - 3y}{3} \\\ &= \dfrac{7x + 5y}{3}. \end{aligned}
Juntando as componentes:
T(x,y)=\left(\dfrac{5x-2y}{3},\; \dfrac{x+5y}{3},\; \dfrac{7x+5y}{3}\right).

Passo 5

Calcular T(-1,2) substituindo x=-1 e y=2 na fórmula encontrada.
Primeira componente:
\dfrac{5(-1)-2\cdot 2}{3}=\dfrac{-5-4}{3}=\dfrac{-9}{3}=-3.
Segunda componente:
\dfrac{-1 + 5\cdot 2}{3}=\dfrac{-1+10}{3}=\dfrac{9}{3}=3.
Terceira componente:
\dfrac{7(-1)+5\cdot 2}{3}=\dfrac{-7+10}{3}=\dfrac{3}{3}=1.
Portanto
T(-1,2)=(-3,\,3,\,1).

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para a prova):
  • Se aplicarmos a fórmula a (1,1) devemos recuperar T(1,1)=(1,2,4). T(1,1)=\left(\dfrac{5\cdot1-2\cdot1}{3},\dfrac{1+5\cdot1}{3},\dfrac{7\cdot1+5\cdot1}{3}\right) =\left(\dfrac{3}{3},\dfrac{6}{3},\dfrac{12}{3}\right)=(1,2,4).
  • Para (2,-1): T(2,-1)=\left(\dfrac{5\cdot2-2(-1)}{3},\dfrac{2+5(-1)}{3},\dfrac{7\cdot2+5(-1)}{3}\right) =\left(\dfrac{10+2}{3},\dfrac{2-5}{3},\dfrac{14-5}{3}\right) =(4,-1,3).
As duas verificações coincidem com os dados do enunciado, então a fórmula está consistente.

Resposta

T(x,y)=\left(\dfrac{5x-2y}{3},\;\dfrac{x+5y}{3},\;\dfrac{7x+5y}{3}\right)
T(-1,2)=(-3,\,3,\,1)

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