Questão 1: (5 pts) Dadas as bases
, e
uma transformação lincar tal que
e
.
a) (4 pts) Encontre
b)
.
a) (4 pts) Encontre
b)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A base canônica de
é . - A base
de é . - A transformação linear
satisfaz
O enunciado pede:
(a) Encontrar a expressão de para um vetor arbitrário
(b) Calcular .
(a) Encontrar a expressão de
(b) Calcular
Passo 2
Ideia principal (intuição didática):
Uma transformação linear é determinada quando se sabe sua ação sobre uma base do domínio. Aqui sabemos em relação à base
com
e
. Para obter
para qualquer
devemos:
Uma transformação linear é determinada quando se sabe sua ação sobre uma base do domínio. Aqui sabemos
- Escrever
como combinação linear dos vetores da base : encontrar escalares e tais que - Usar linearidade:
Então o passo chave é resolver para
e
em termos de
e
.
Passo 3
Escrever a condição de combinação linear e resolver para [a) e
.
Da igualdade
obtemos o sistema por coordenadas:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Logo
Agora substituindo em (a-b=y]:
Portanto as coordenadas de
na base
são
Passo 4
Aplicar linearidade para obter
.
Usando
e substituindo
,
e os valores de
e
, obtemos componente a componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Juntando as componentes:
Passo 5
Calcular
substituindo
e
na fórmula encontrada.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para a prova):
- Se aplicarmos a fórmula a
devemos recuperar . - Para
:
As duas verificações coincidem com os dados do enunciado, então a fórmula está consistente.