Os Problemas 2.42 e 2.43 se referem às matrizes seguintes:
A=[rrr1 & -1 & 2 0 & 3 & 4], B=[rrr4 & 0 & -3 -1 & -2 & 3], C=[rrrr2 & -3 & 0 & 1 5 & -1 & -4 & 2 -1 & 0 & 0 & 3], D=[r2 -1 3].
2.43 Encontre (b) A^T B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular A^T B , que é a multiplicação da matriz transposta de A pela matriz B . Isso faz parte do estudo de matrizes e como multiplicá-las. Para isso, vamos precisar entender o que é a matriz transposta e como fazer a multiplicação entre duas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é a matriz transposta. A transposta de uma matriz é simplesmente trocar suas linhas por colunas. Então, se a matriz A tem linhas que viram colunas na transposta A^T , e vice-versa.
Dada a matriz A :
A = 1 & -1 & 2 0 & 3 & 4
A transposta A^T será:
A^T = 1 & 0 -1 & 3 2 & 4

Passo 3

Agora que temos A^T e a matriz B :
B = 4 & 0 & -3 -1 & -2 & 3
Vamos multiplicar A^T por B . Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz (no caso, A^T tem 2 colunas) precisa ser igual ao número de linhas da segunda matriz ( B tem 2 linhas). O resultado será uma nova matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda, ou seja, uma matriz 3 times 3 .

Passo 4

Vamos fazer a multiplicação passo a passo. Cada elemento da matriz resultante A^T B é calculado multiplicando as linhas de A^T pelas colunas de B .
A^T B = 1 & 0 -1 & 3 2 & 4 4 & 0 & -3 -1 & -2 & 3
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1):
(1 times 4) + (0 times -1) = 4 + 0 = 4
  • Elemento (1,2):
(1 times 0) + (0 times -2) = 0 + 0 = 0
  • Elemento (1,3):
(1 times -3) + (0 times 3) = -3 + 0 = -3
  • Elemento (2,1):
(-1 times 4) + (3 times -1) = -4 + (-3) = -7
  • Elemento (2,2):
(-1 times 0) + (3 times -2) = 0 + (-6) = -6
  • Elemento (2,3):
(-1 times -3) + (3 times 3) = 3 + 9 = 12
  • Elemento (3,1):
(2 times 4) + (4 times -1) = 8 + (-4) = 4
  • Elemento (3,2):
(2 times 0) + (4 times -2) = 0 + (-8) = -8
  • Elemento (3,3):
(2 times -3) + (4 times 3) = -6 + 12 = 6

Resposta

Finalizando, o produto A^T B é a seguinte matriz:
A^T B = 4 & 0 & -3 -7 & -6 & 12 4 & -8 & 6

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