Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função f dada por:
f(x)=x^{3}-\frac{3}{2} x^{2}-6 x+2

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+2
e pede duas coisas: (1) encontrar os intervalos em que f cresce e decresce; (2) encontrar os valores extremos locais (máximos e mínimos locais) da função. Essas são as informações que temos e as perguntas que vamos responder.

Passo 2

Antes de calcular, vamos entender a ideia prática que vamos usar (passo a passo, sem pressa): a derivada de uma função num ponto mede a inclinação da reta tangente ali — se a derivada for positiva a função sobe (cresce) naquele ponto; se for negativa a função desce (decresce). Então, para saber onde f cresce ou decresce, fazemos:
  1. calcular f'(x);
  2. encontrar os pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe (esses são os pontos críticos);
  3. testar o sinal de f'(x) em intervalos determinados por esses pontos críticos.
Isso se chama Teste da Primeira Derivada: mudança de sinal de f' de positivo para negativo indica máximo local; de negativo para positivo indica mínimo local. Quando eu falar em f'(x) positivo/negativo, significa literalmente que a derivada avaliada num ponto daquela região é maior/menor que zero.

Passo 3

Calcular f'(x). Usamos a regra do poder: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo:
\begin{aligned} f(x)&=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}-6x+2,\\[4pt] f'(x)&=3x^{2}-\frac{3}{2}\cdot 2x -6\\[4pt] &=3x^{2}-3x-6. \end{aligned}
Aqui cada passo: derivada de x^3 é 3x^2; derivada de -\tfrac{3}{2}x^2 é -\tfrac{3}{2}\cdot 2x=-3x; derivada de -6x é -6; constante some.]

Passo 4

Encontrar os pontos críticos: resolver f'(x)=0.
3x^{2}-3x-6=0.
Dividindo ambos os lados por 3 (operação válida e simplifica):
x^{2}-x-2=0.
Fatorando a quadrática:
x^{2}-x-2=(x-2)(x+1).
Portanto as raízes são x=2 e x=-1. A derivada existe para todo x (é um polinômio), então os pontos críticos são exatamente x=-1 e x=2.

Passo 5

Montar um quadro de sinais usando intervalos definidos pelos pontos críticos: (-\infty,-1), (-1,2), (2,\infty). Vamos testar um ponto em cada intervalo para ver o sinal de f'(x).
Escolhendo x=-2 em (-\infty,-1):
f'(-2)=3(-2)^{2}-3(-2)-6=3\cdot 4+6-6=12.
Como f'(-2)=12>0, em (-\infty,-1) a derivada é positiva.
Escolhendo x=0 em (-1,2):
f'(0)=3\cdot 0^{2}-3\cdot 0-6=-6.
Como f'(0)=-6<0, em (-1,2) a derivada é negativa.
Escolhendo x=3 em (2,\infty):
f'(3)=3\cdot 3^{2}-3\cdot 3-6=3\cdot 9-9-6=27-15=12.
Como f'(3)=12>0, em (2,\infty) a derivada é positiva.
Resumo do sinal de f':
  • f'(x)>0 em (-\infty,-1) e em (2,\infty);
  • f'(x)<0 em (-1,2).

Passo 6

Interpretar com o Teste da Primeira Derivada para classificar extremos:
  • Em x=-1 a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso significa que f passa de crescer para decrescer — logo x=-1 é ponto de máximo local.
  • Em x=2 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso significa que f passa de decrescer para crescer — logo x=2 é ponto de mínimo local.
Agora calcular os valores da função nesses pontos (para dar as coordenadas dos extremos):
Calcular f(-1):
\begin{aligned} f(-1)&=(-1)^{3}-\frac{3}{2}(-1)^{2}-6(-1)+2\\[4pt] &=-1-\frac{3}{2}+6+2\\[4pt] &=-1-1{,}5+8\\[4pt] &=5{,}5=\frac{11}{2}. \end{aligned}
Calcular f(2):
\begin{aligned} f(2)&=2^{3}-\frac{3}{2}\cdot 2^{2}-6\cdot 2+2\\[4pt] &=8-\frac{3}{2}\cdot 4-12+2\\[4pt] &=8-6-12+2\\[4pt] &=-8. \end{aligned}
Portanto o máximo local é em \bigl(-1,\tfrac{11}{2}\bigr) e o mínimo local é em (2,-8).]

Resposta

Cresce em \displaystyle (-\infty,-1)\cup(2,\infty)
Decresce em \displaystyle (-1,2)
Máximo local: \displaystyle x=-1 com f(-1)=\tfrac{11}{2}
Mínimo local: \displaystyle x=2 com f(2)=-8

Exercícios relacionados