Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função
dada por:
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas: (1) encontrar os intervalos em que
cresce e decresce; (2) encontrar os valores extremos locais (máximos e mínimos locais) da função. Essas são as informações que temos e as perguntas que vamos responder.
Passo 2
Antes de calcular, vamos entender a ideia prática que vamos usar (passo a passo, sem pressa): a derivada de uma função num ponto mede a inclinação da reta tangente ali — se a derivada for positiva a função sobe (cresce) naquele ponto; se for negativa a função desce (decresce). Então, para saber onde
cresce ou decresce, fazemos:
- calcular
; - encontrar os pontos onde
ou onde não existe (esses são os pontos críticos); - testar o sinal de
em intervalos determinados por esses pontos críticos.
Isso se chama Teste da Primeira Derivada: mudança de sinal de
de positivo para negativo indica máximo local; de negativo para positivo indica mínimo local. Quando eu falar em
positivo/negativo, significa literalmente que a derivada avaliada num ponto daquela região é maior/menor que zero.
Passo 3
Calcular
. Usamos a regra do poder: se
então
. Aplicando termo a termo:
Aqui cada passo: derivada de
é
; derivada de
é
; derivada de
é
; constante some.]
Passo 4
Encontrar os pontos críticos: resolver
.
Dividindo ambos os lados por
(operação válida e simplifica):
Fatorando a quadrática:
Portanto as raízes são
e
. A derivada existe para todo
(é um polinômio), então os pontos críticos são exatamente
e
.
Passo 5
Montar um quadro de sinais usando intervalos definidos pelos pontos críticos:
,
,
. Vamos testar um ponto em cada intervalo para ver o sinal de
.
Escolhendo
em
:
Como
, em
a derivada é positiva.
Escolhendo
em
:
Como
, em
a derivada é negativa.
Escolhendo
em
:
Como
, em
a derivada é positiva.
Resumo do sinal de
:
-
em e em ; -
em .
Passo 6
Interpretar com o Teste da Primeira Derivada para classificar extremos:
- Em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso significa que passa de crescer para decrescer — logo é ponto de máximo local. - Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso significa que passa de decrescer para crescer — logo é ponto de mínimo local.
Agora calcular os valores da função nesses pontos (para dar as coordenadas dos extremos):
Calcular
:
Calcular
:
Portanto o máximo local é em
e o mínimo local é em
.]
Resposta
Cresce em
Decresce em
Máximo local: com
Mínimo local: com
Decresce em
Máximo local:
Mínimo local: