Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função f dada por:
f(x)=x^{2}+\frac{16}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede duas coisas:
  • Determinar os intervalos onde f cresce e onde f decresce.
  • Encontrar os valores extremos locais (pontos críticos com máximo ou mínimo local).
Informações do enunciado:
  • f(x)=x^{2}+\dfrac{16}{x^{2}}.
  • Domínio: todos os x tais que x\neq 0 (porque aparece x^{2} no denominador).

Passo 2

Primeiro precisamos da derivada f'(x). Vou lembrar as regras básicas de derivação que vou usar:
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para qualquer número real n.
  • Regra de derivar uma soma: derivada da soma é a soma das derivadas.
Aplicando isso em f(x)=x^{2}+16x^{-2} (reescrevi \dfrac{16}{x^{2}} como 16x^{-2}):
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)+\dfrac{d}{dx}\big(16x^{-2}\big).
Usando a regra do poder:
\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x, \qquad \dfrac{d}{dx}\big(16x^{-2}\big)=16\cdot(-2)x^{-3}=-32x^{-3}.
Portanto
f'(x)=2x-32x^{-3}.

Passo 3

Vamos simplificar e fatorar f'(x) para facilitar o estudo do sinal:
f'(x)=2x-\dfrac{32}{x^{3}}.
Colocando no mesmo denominador x^{3} (observando que x\neq0 no domínio):
f'(x)=\dfrac{2x^{4}-32}{x^{3}}=\dfrac{2\big(x^{4}-16\big)}{x^{3}}.
Como x^{4}-16=(x^{2}-4)(x^{2}+4) e x^{2}+4>0 para todo x, posso escrever:
f'(x)=\dfrac{2(x^{2}-4)(x^{2}+4)}{x^{3}}=\dfrac{2(x-2)(x+2)(x^{2}+4)}{x^{3}}.

Passo 4

Agora determinamos os pontos críticos: são os x do domínio onde f'(x)=0 ou onde f'(x) não existe.
  • f'(x)=0 quando o numerador é zero, isto é quando x^{4}-16=0. Isso dá x^{2}=4 e então x=\pm 2.
  • f'(x) não existe em x=0, mas x=0 nem pertence ao domínio de f, então não é ponto crítico relevante para extremos da função no domínio.
Portanto os pontos críticos no domínio são x=-2 e x=2.

Passo 5

Para aplicar o Teste da Primeira Derivada vamos estudar o sinal de f'(x) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos e pela descontinuidade: os intervalos são
(-\infty,-2),\quad (-2,0),\quad (0,2),\quad (2,\infty).
Vou explicar uma forma prática: usar o fatorado
f'(x)=2\cdot(x-2)\cdot(x+2)\cdot(x^{2}+4)\cdot x^{-3}.
Cada fator tem sinal conhecido em cada intervalo:
  • 2>0 sempre.
  • x^{2}+4>0 sempre.
  • O sinal dos fatores (x-2), (x+2) e de x^{-3} depende do intervalo. Lembre que x^{-3} tem o mesmo sinal que x^{3} (positivo se x>0, negativo se x<0).

Passo 6

Escolho um ponto de teste em cada intervalo e determino o sinal de f'(x).
  1. Intervalo (-\infty,-2). Escolho x=-3.
  • (x-2)=-5 (negativo),
  • (x+2)=-1 (negativo),
  • x^{2}+4>0 (positivo),
  • x^{-3} para x=-3 é negativo.
    Multiplicando sinais: positivo (2) × negativo × negativo × positivo × negativo = negativo.
    Logo em (-\infty,-2) tem-se f'(x)<0 (função decresce).
  1. Intervalo (-2,0). Escolho x=-1.
  • (x-2)=-3 (negativo),
  • (x+2)=1 (positivo),
  • x^{2}+4>0 (positivo),
  • x^{-3} para x=-1 é negativo.
    Sinais: + × (−) × (+) × (+) × (−) = +.
    Logo em (-2,0) tem-se f'(x)>0 (função cresce).
  1. Intervalo (0,2). Escolho x=1.
  • (x-2)=-1 (negativo),
  • (x+2)=3 (positivo),
  • x^{2}+4>0 (positivo),
  • x^{-3} para x=1 é positivo.
    Sinais: + × (−) × (+) × (+) × (+) = −.
    Logo em (0,2) tem-se f'(x)<0 (função decresce).
  1. Intervalo (2,\infty). Escolho x=3.
  • (x-2)=1 (positivo),
  • (x+2)=5 (positivo),
  • x^{2}+4>0 (positivo),
  • x^{-3} para x=3 é positivo.
    Sinais: + × (+) × (+) × (+) × (+) = +.
    Logo em (2,\infty) tem-se f'(x)>0 (função cresce).
Resumo dos resultados:
  • f decresce em (-\infty,-2) e em (0,2).
  • f cresce em (-2,0) e em (2,\infty).

Passo 7

Usando as trocas de sinal de f' em cada ponto crítico para classificar extremos:
  • Em x=-2: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) \Rightarrow mínimo local em x=-2.
  • Em x=2: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) \Rightarrow mínimo local em x=2.
Calculemos os valores de f nesses pontos:
f(2)=2^{2}+\dfrac{16}{2^{2}}=4+\dfrac{16}{4}=4+4=8,
f(-2)=(-2)^{2}+\dfrac{16}{(-2)^{2}}=4+\dfrac{16}{4}=8.
Portanto ambos os pontos críticos são mínimos locais com valor 8. Não há máximos locais (nenhum ponto com f' mudando de positivo para negativo).

Resposta

Intervalos de crescimento: (-2,0) e (2,\infty)
Intervalos de decrescimento: (-\infty,-2) e (0,2)
Mínimos locais: x=-2 com f(-2)=8 e x=2 com f(2)=8

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