Usando o Teste da Primeira Derivada encontre os intervalos de crescimento e decrescimento e os valores extremos locais da função
dada por:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar os intervalos onde
cresce e onde decresce. - Encontrar os valores extremos locais (pontos críticos com máximo ou mínimo local).
Informações do enunciado:
-
. - Domínio: todos os
tais que (porque aparece no denominador).
Passo 2
Primeiro precisamos da derivada
. Vou lembrar as regras básicas de derivação que vou usar:
- Regra do poder:
para qualquer número real . - Regra de derivar uma soma: derivada da soma é a soma das derivadas.
Aplicando isso em
(reescrevi
como
):
Usando a regra do poder:
Portanto
Passo 3
Vamos simplificar e fatorar
para facilitar o estudo do sinal:
Colocando no mesmo denominador
(observando que
no domínio):
Como
e
para todo
, posso escrever:
Passo 4
Agora determinamos os pontos críticos: são os
do domínio onde
ou onde
não existe.
-
quando o numerador é zero, isto é quando . Isso dá e então . -
não existe em , mas nem pertence ao domínio de , então não é ponto crítico relevante para extremos da função no domínio.
Portanto os pontos críticos no domínio são
e
.
Passo 5
Para aplicar o Teste da Primeira Derivada vamos estudar o sinal de
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos e pela descontinuidade: os intervalos são
Vou explicar uma forma prática: usar o fatorado
Cada fator tem sinal conhecido em cada intervalo:
-
sempre. -
sempre. - O sinal dos fatores
, e de depende do intervalo. Lembre que tem o mesmo sinal que (positivo se , negativo se ).
Passo 6
Escolho um ponto de teste em cada intervalo e determino o sinal de
.
- Intervalo
. Escolho .
-
(negativo), -
(negativo), -
(positivo), -
para é negativo.
Multiplicando sinais: positivo (2) × negativo × negativo × positivo × negativo = negativo.
Logo emtem-se (função decresce).
- Intervalo
. Escolho .
-
(negativo), -
(positivo), -
(positivo), -
para é negativo.
Sinais: + × (−) × (+) × (+) × (−) = +.
Logo emtem-se (função cresce).
- Intervalo
. Escolho .
-
(negativo), -
(positivo), -
(positivo), -
para é positivo.
Sinais: + × (−) × (+) × (+) × (+) = −.
Logo emtem-se (função decresce).
- Intervalo
. Escolho .
-
(positivo), -
(positivo), -
(positivo), -
para é positivo.
Sinais: + × (+) × (+) × (+) × (+) = +.
Logo emtem-se (função cresce).
Resumo dos resultados:
-
decresce em e em . -
cresce em e em .
Passo 7
Usando as trocas de sinal de
em cada ponto crítico para classificar extremos:
- Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) mínimo local em . - Em
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita) mínimo local em .
Calculemos os valores de
nesses pontos:
Portanto ambos os pontos críticos são mínimos locais com valor
. Não há máximos locais (nenhum ponto com
mudando de positivo para negativo).
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
Intervalos de decrescimento: e
Mínimos locais: com
e
com
Intervalos de decrescimento:
Mínimos locais: