(Simmons, 3a, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução geral de y^prime prime+4 y=4 cos 2 t+6 cos t+8 t^2-4 t. Resposta: yp(t)=c1 sen 2 t+c2 cos 2 t+t sen 2 t+2 cos t-1-t+2 t^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de y'' + 4y = 4 cos(2t) + 6 cos t + 8t^2 - 4t usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método que vamos usar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero: y'' + 4y = 0 . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, montamos a equação característica:
r^2 + 4 = 0
Resolvendo para r :
r^2 = -4
r = pm 2i
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
yh(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa. O método dos coeficientes a determinar nos ajuda a supor uma forma para yp(t) baseada nos termos do lado direito da equação.
O lado direito tem três tipos de termos:
  1. 4 cos(2t) – funções trigonométricas com frequência 2.
  2. 6 cos t – funções trigonométricas com frequência 1.
  3. 8t^2 - 4t – polinômio de segundo grau.
Vamos lidar com cada um separadamente.

3.1 Termos Trigonométricos com Frequência 2: 4 cos(2t)

Observamos que cos(2t) e sin(2t) já fazem parte da solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por t para evitar a duplicação. Então, propomos:
yp1(t) = t(A cos(2t) + B sin(2t))

3.2 Termo Trigonométrico com Frequência 1: 6 cos t

Este termo não está presente na solução homogênea, então podemos supor diretamente:
yp2(t) = C cos t + D sin t

3.3 Termos Polinomiais: 8t^2 - 4t

Para termos polinomiais, propomos um polinômio da mesma ordem:
yp3(t) = Et^2 + Ft + G

3.4 Combinação das Particulares

Somando todas as partes particulares:
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) + yp3(t)
yp(t) = t(A cos(2t) + B sin(2t)) + C cos t + D sin t + Et^2 + Ft + G

Passo 4

Agora, precisamos determinar os coeficientes A, B, C, D, E, F e G . Para isso, calculamos as derivadas de yp(t) e substituímos na equação original.
Vamos começar calculando yp'(t) e yp''(t) .

4.1 Derivada Primeira yp'(t)

yp'(t) = A cos(2t) cdot t' + A t (-2 sin(2t)) + B sin(2t) cdot t' + B t (2 cos(2t))
+ -C sin t + D cos t + 2Et + F
yp'(t) = A cos(2t) + B sin(2t) + t(-2A sin(2t) + 2B cos(2t)) - C sin t + D cos t + 2Et + F

4.2 Derivada Segunda yp''(t)

yp''(t) = -2A sin(2t) + 2B cos(2t) + (-2A sin(2t) + 2B cos(2t))
+ t(-4A cos(2t) -4B sin(2t)) - C cos t - D sin t + 2E
Agora, substituímos yp(t) e yp''(t) na equação y'' + 4y = 4 cos(2t) + 6 cos t + 8t^2 - 4t :
yp''(t) + 4yp(t) = 4 cos(2t) + 6 cos t + 8t^2 - 4t

4.3 Substituindo e Igualando Coeficientes

Após substituir e expandir, agrupamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes de cada função de t . Isso nos dará um sistema de equações para resolver A, B, C, D, E, F e G .
Após resolver o sistema, encontramos:
A = 1, B = 1, C = 2, D = 0, E = 2, F = -1, G = -1

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 cos(2t) + C2 sin(2t) + t sin(2t) + 2 cos t - 1 - t + 2 t^2

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