(Simmons, 3a, pag. 103) Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar a solução geral de
. Resposta:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral de
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e o método que vamos usar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é igual a zero:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. O método dos coeficientes a determinar nos ajuda a supor uma forma para
baseada nos termos do lado direito da equação.
O lado direito tem três tipos de termos:
-
– funções trigonométricas com frequência 2. -
– funções trigonométricas com frequência 1. -
– polinômio de segundo grau.
Vamos lidar com cada um separadamente.
3.1 Termos Trigonométricos com Frequência 2:
Observamos que
e
já fazem parte da solução homogênea. Por isso, precisamos multiplicar nossa suposição por
para evitar a duplicação. Então, propomos:
3.2 Termo Trigonométrico com Frequência 1:
Este termo não está presente na solução homogênea, então podemos supor diretamente:
3.3 Termos Polinomiais:
Para termos polinomiais, propomos um polinômio da mesma ordem:
3.4 Combinação das Particulares
Somando todas as partes particulares:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os coeficientes
e
. Para isso, calculamos as derivadas de
e substituímos na equação original.
Vamos começar calculando
e
.
4.1 Derivada Primeira
4.2 Derivada Segunda
Agora, substituímos
e
na equação
:
4.3 Substituindo e Igualando Coeficientes
Após substituir e expandir, agrupamos os termos semelhantes e igualamos os coeficientes de cada função de
. Isso nos dará um sistema de equações para resolver
e
.
Após resolver o sistema, encontramos:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é: