Determine o valor da constante desconhecida
na distribuição de probabilidade abaixo. Indique os possíveis valores da variável aleatória
e suas respectivas probabilidades:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor da constante desconhecida $ C $ em uma distribuição de probabilidade definida por $ p(x) = C^{(x+1)} $, onde $ x $ pode ser 0, 1, 2, 3, e assim por diante. Nosso objetivo é descobrir qual valor de $ C $ faz essa distribuição ser válida e também identificar os possíveis valores que a variável aleatória $ X $ pode assumir junto com suas probabilidades correspondentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de distribuições de probabilidade e somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer distribuição de probabilidade válida, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Ou seja,
No nosso caso, $ p(x) = C^{(x+1)} $, então substituindo na soma:
Passo 3
Vamos simplificar essa soma. Note que $ C^{(x+1)} = C \cdot C^{x} $. Assim, podemos reescrever a soma como:
Passo 4
A soma $ \sum_{x=0}^{\infty} C^{x} $ é uma série geométrica. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita $ \sum_{x=0}^{\infty} r^{x} $ converges para $ \frac{1}{1 - r} $ quando $ |r| < 1 $. No nosso caso, $ r = C $, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver para $ C $:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - C $:
Somando $ C $ dos dois lados:
Dividindo por 2:
Passo 6
Agora que encontramos $ C = \frac{1}{2} $, podemos determinar as probabilidades para cada valor de $ X $. Substituindo $ C $ na expressão original:
Então, os possíveis valores de $ X $ são $ 0, 1, 2, 3, ··· $ e suas respectivas probabilidades são:
Resposta
A constante $ C $ é igual a $ \frac{1}{2} $. Os possíveis valores da variável aleatória $ X $ são $ 0, 1, 2, 3, ··· $ e suas respectivas probabilidades são:
Por exemplo: