Determine o valor da constante desconhecida C na distribuição de probabilidade abaixo. Indique os possíveis valores da variável aleatória X e suas respectivas probabilidades:
p(x)=C^(x+1), onde x in0,1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o valor da constante desconhecida $ C $ em uma distribuição de probabilidade definida por $ p(x) = C^{(x+1)} $, onde $ x $ pode ser 0, 1, 2, 3, e assim por diante. Nosso objetivo é descobrir qual valor de $ C $ faz essa distribuição ser válida e também identificar os possíveis valores que a variável aleatória $ X $ pode assumir junto com suas probabilidades correspondentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de distribuições de probabilidade e somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer distribuição de probabilidade válida, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Ou seja,
sumx=0^infty p(x) = 1
No nosso caso, $ p(x) = C^{(x+1)} $, então substituindo na soma:
p(x) = C^(x+1)

Passo 3

Vamos simplificar essa soma. Note que $ C^{(x+1)} = C \cdot C^{x} $. Assim, podemos reescrever a soma como:
C^(x+1) = C cdot C^x

Passo 4

A soma $ \sum_{x=0}^{\infty} C^{x} $ é uma série geométrica. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita $ \sum_{x=0}^{\infty} r^{x} $ converges para $ \frac{1}{1 - r} $ quando $ |r| < 1 $. No nosso caso, $ r = C $, então:
sumx=0^infty C^x

Passo 5

Agora, vamos resolver para $ C $:
C
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - C $:
C1 - C = 1
Somando $ C $ dos dois lados:
1 - C
Dividindo por 2:
C = 1 - C

Passo 6

Agora que encontramos $ C = \frac{1}{2} $, podemos determinar as probabilidades para cada valor de $ X $. Substituindo $ C $ na expressão original:
C = 12
Então, os possíveis valores de $ X $ são $ 0, 1, 2, 3, ··· $ e suas respectivas probabilidades são:
X

Resposta

A constante $ C $ é igual a $ \frac{1}{2} $. Os possíveis valores da variável aleatória $ X $ são $ 0, 1, 2, 3, ··· $ e suas respectivas probabilidades são:
C
Por exemplo:
12

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