Determine o valor da constante desconhecida
na distribuição de probabilidade abaixo. Indique os possíveis valores da variável aleatória
e suas respectivas probabilidades:
, onde
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver esse exercício de distribuição de probabilidade. A tarefa é encontrar o valor da constante desconhecida $ C $ na função de probabilidade dada: $ p(x) = C(x + 1) $, onde $ x $ pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4. Para resolver isso, vamos lembrar que, numa distribuição de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, vamos usar esse conceito para encontrar o valor de $ C $ e depois determinar as probabilidades para cada valor de $ X $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição que diz que a soma de todas as probabilidades $ p(x) $ deve ser igual a 1:
Substituindo $ p(x) $ pela expressão dada $ C(x + 1) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma dentro dos parênteses:
Passo 4
Com a soma calculada, a equação fica:
Para encontrar $ C $, dividimos ambos os lados da equação por 15:
Passo 5
Agora que encontramos $ C $, vamos determinar as probabilidades para cada valor de $ X $:
Vamos calcular para cada $ x $ em {0,1,2,3,4}:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = 1 $:
- Para $ x = 2 $:
- Para $ x = 3 $:
- Para $ x = 4 $:
Resposta
A constante desconhecida é $ C = \frac{1}{15} $. Os valores possíveis da variável aleatória $ X $ e suas respectivas probabilidades são: