Determine o valor da constante desconhecida C na distribuição de probabilidade abaixo. Indique os possíveis valores da variável aleatória X e suas respectivas probabilidades:
p(x)=C(x+1), onde x in0,1,2,3,4

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver esse exercício de distribuição de probabilidade. A tarefa é encontrar o valor da constante desconhecida $ C $ na função de probabilidade dada: $ p(x) = C(x + 1) $, onde $ x $ pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4. Para resolver isso, vamos lembrar que, numa distribuição de probabilidade, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, vamos usar esse conceito para encontrar o valor de $ C $ e depois determinar as probabilidades para cada valor de $ X $.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição que diz que a soma de todas as probabilidades $ p(x) $ deve ser igual a 1:
p(x)
Substituindo $ p(x) $ pela expressão dada $ C(x + 1) $:
sumx=0^4 p(x) = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dentro dos parênteses:
sumx=0^4 (x + 1) = (0 + 1) + (1 + 1) + (2 + 1) + (3 + 1) + (4 + 1)
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Passo 4

Com a soma calculada, a equação fica:
C times 15 = 1
Para encontrar $ C $, dividimos ambos os lados da equação por 15:
C

Passo 5

Agora que encontramos $ C $, vamos determinar as probabilidades para cada valor de $ X $:
C
Vamos calcular para cada $ x $ em {0,1,2,3,4}:
  • Para $ x = 0 $:
X
  • Para $ x = 1 $:
p(x) = 115(x + 1)
  • Para $ x = 2 $:
x
  • Para $ x = 3 $:
x = 0
  • Para $ x = 4 $:
p(0) = 115(0 + 1) = 115

Resposta

A constante desconhecida é $ C = \frac{1}{15} $. Os valores possíveis da variável aleatória $ X $ e suas respectivas probabilidades são:
C = 115

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