Determine o valor da constante k para que os vetores
→u( 3 , 4 , - 5) e→v( 5k + 2, 1, 7 - k) sejam ortogonais.
→u( 3 , 4 , - 5) e→v( 5k + 2, 1, 7 - k) sejam ortogonais.
Passo 1
Vamos entender o problema: precisamos encontrar o valor de $ k $ para que os vetores u = (3, 4, -5) e v = (5$ k $ + 2, 1, 7 - $ k $) sejam ortogonais.
Aqui, estamos trabalhando com vetores em 3 dimensões e usando conceitos de álgebra vetorial para determinar a condição de ortogonalidade entre dois vetores.
Passo 2
Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou ponto) entre eles for igual a zero. O produto interno de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é dado por:
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Passo 4
Vamos resolver a equação passo a passo:
Passo 5
Agora, isolamos $ k $:
Resposta
O valor da constante $ k $ que torna os vetores ortogonais é $ \boxed{\dfrac{5}{4}} $.