Determine o valor da constante k para que os vetores
→u( 3 , 4 , - 5) e→v( 5k + 2, 1, 7 - k) sejam ortogonais.

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos encontrar o valor de $ k $ para que os vetores u = (3, 4, -5) e v = (5$ k $ + 2, 1, 7 - $ k $) sejam ortogonais.
Aqui, estamos trabalhando com vetores em 3 dimensões e usando conceitos de álgebra vetorial para determinar a condição de ortogonalidade entre dois vetores.

Passo 2

Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou ponto) entre eles for igual a zero. O produto interno de dois vetores u = (u₁, u₂, u₃) e v = (v₁, v₂, v₃) é dado por:
u cdot v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
u cdot v = 3(5k + 2) + 4(1) + (-5)(7 - k) = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação passo a passo:
3(5k + 2) + 4(1) + (-5)(7 - k) = 0 15k + 6 + 4 - 35 + 5k = 0 (15k + 5k) + (6 + 4 - 35) = 0 20k - 25 = 0

Passo 5

Agora, isolamos $ k $:
k

Resposta

O valor da constante $ k $ que torna os vetores ortogonais é $ \boxed{\dfrac{5}{4}} $.

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