Determine o valor da constante c que satisfaz cada uma das igualdades abaixo. (Dica: identifique a série como uma série geométrica, e utilize a fórmula da soma S=sumn=1^infty a r^n-1=a1-r, válida quando |r|<1.)
sumn=0^infty e^n c=10

Passo 1

O enunciado pede para determinar a constante c tal que
sumn=0^infty e^n c = 10
Observamos que isso é uma série geométrica de primeiro termo a=1 e razão r = e^c. Para convergir, precisamos de |r|<1, e a soma é dada por
sumn=0^infty a,r^n = a1-r

Passo 2

Aplicando a fórmula da soma com a=1 e r=e^c, obtemos
sumn=0^infty e^n c = 11 - e^c = 10

Passo 3

Resolvendo a equação
11 - e^c = 10
vem
1 = 10,(1 - e^c)Longrightarrow 10,e^c = 9Longrightarrow e^c = tfrac910

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
c = ln!l(tfrac910r)
Verificamos que lvert e^crvert = tfrac910<1, logo a série converge.

Resposta

c = ln!l(tfrac910r)

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