Seja Tn a temperatura de um objeto após n minutos. A lei de resfriamento de Newton afirma que a variação da temperatura do objeto é proporcional à sua temperatura no instante anterior, ou seja:
De<a Tn+1=Tn+1-Tn=k Tn
onde k<0 é uma constante que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
(a) Obtenha uma expressão para Tn em função da temperatura inicial T0, da constante k e do tempo n.
(b) Um bolo recém-saído do forno está a uma temperatura de T0=100^circ C. Após 1 minuto, sua temperatura é T1=90^circ C. Determine o valor da constante k.
(c) Supondo que a temperatura ambiente seja de 20^circ C, quantos minutos são necessários, aproximadamente, para que a temperatura do bolo atinja esse valor?

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado fala de um objeto (no caso um bolo) que esfria segundo a “lei de resfriamento de Newton” em tempo discreto. Ele diz que
De<a Tn+1=Tn+1-Tn = k,Tn,
com k<0.
Conteúdo: equações de recorrência e progressão geométrica.
O que vamos usar:
  • Transformar a diferença em uma relação de recorrência.
  • Identificar que é uma PG.
  • No item (c), adaptar a lei para considerar temperatura ambiente.

Passo 2

(a) Queremos Tn em função de T0, k e n.
Partimos de
Tn+1-Tn = k,Tn ;Longrightarrow; Tn+1 = (1+k),Tn
Isso é exatamente a definição de progressão geométrica: cada termo é obtido multiplicando o anterior por (1+k).
Logo, aplicando isso n vezes a partir de T0:
Tn = (1+k)^n,T0

Passo 3

(b) Sabendo que T0=100^circ C e T1=90^circ C, usamos a fórmula do passo anterior com n=1:
T1 = (1+k),T0 ;Longrightarrow; 90 = (1+k)times100 ;Longrightarrow; 1+k = 0.9 ;Longrightarrow; k = -0.1

Passo 4

(c) Agora a temperatura ambiente é 20^circ C. A lei de Newton discreta fica
Tn+1-Tn = k,(Tn - 20),
pois o resfriamento é proporcional ao excesso de temperatura sobre o ambiente. Definindo Sn = Tn - 20, temos
Sn+1 = Tn+1-20 = Tn + k,(Tn-20) - 20 = (1+k)(Tn-20) = (1+k),Sn
Então Sn é PG de razão (1+k)=0.9 e S0=T0-20=80, logo
Sn = 80,(0.9)^n Longrightarrow Tn = 20 + 80,(0.9)^n
Para que Tn = 20 teríamos
20 + 80,(0.9)^n = 20 ;Longrightarrow; 80,(0.9)^n = 0 ;Longrightarrow; (0.9)^n = 0,
o que não ocorre em n finito (uma PG com razão 0<0.9<1 só zera no limite ntoinfty).

Resposta

(a) Tn = (1+k)^n,T0
(b) k = -0.1
(c) O bolo só atinge exatamente 20^circ C no limite ntoinfty; em tempo finito ele chega cada vez mais perto, mas nunca iguala.

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