Seja
a temperatura de um objeto após
minutos. A lei de resfriamento de Newton afirma que a variação da temperatura do objeto é proporcional à sua temperatura no instante anterior, ou seja:
onde
é uma constante que depende das propriedades do objeto e do ambiente.
(a) Obtenha uma expressão para
em função da temperatura inicial
, da constante
e do tempo
.
(b) Um bolo recém-saído do forno está a uma temperatura de
. Após 1 minuto, sua temperatura é
. Determine o valor da constante
.
(c) Supondo que a temperatura ambiente seja de
, quantos minutos são necessários, aproximadamente, para que a temperatura do bolo atinja esse valor?
(a) Obtenha uma expressão para
(b) Um bolo recém-saído do forno está a uma temperatura de
(c) Supondo que a temperatura ambiente seja de
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado fala de um objeto (no caso um bolo) que esfria segundo a “lei de resfriamento de Newton” em tempo discreto. Ele diz que
com
.
Conteúdo: equações de recorrência e progressão geométrica.
O que vamos usar:
Conteúdo: equações de recorrência e progressão geométrica.
O que vamos usar:
- Transformar a diferença em uma relação de recorrência.
- Identificar que é uma PG.
- No item (c), adaptar a lei para considerar temperatura ambiente.
Passo 2
(a) Queremos
em função de
,
e
.
Partimos de
Partimos de
Isso é exatamente a definição de progressão geométrica: cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Logo, aplicando isso vezes a partir de
:
Logo, aplicando isso
Passo 3
(b) Sabendo que
e
, usamos a fórmula do passo anterior com
:
Passo 4
(c) Agora a temperatura ambiente é
. A lei de Newton discreta fica
pois o resfriamento é proporcional ao excesso de temperatura sobre o ambiente. Definindo
, temos
Então
é PG de razão
e
, logo
Para que
teríamos
o que não ocorre em
finito (uma PG com razão
só zera no limite
).
Resposta
(a)
(b)
(c) O bolo só atinge exatamente no limite
; em tempo finito ele chega cada vez mais perto, mas nunca iguala.
(b)
(c) O bolo só atinge exatamente