Resolva as inequações modulares abaixo:
|x-2|+|x-4| >= 6;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação modular |x-2| + |x-4| >= 6. O conteúdo é inequações com valor absoluto, e vamos precisar usar a ideia de que o módulo vira expressão linear dependendo do sinal de x-2 e x-4.

Passo 2

Identificamos os pontos em que os termos dentro do módulo mudam de sinal: 2 e 4. Assim dividimos a reta em três intervalos: x <= 2, 2 <= x <= 4 e x >= 4. Em cada intervalo substituímos |x-2| e |x-4| pelas expressões adequadas.

Passo 3

Para x <= 2 temos x-2<=0 e x-4<=0, então |x-2|=-(x-2) e |x-4|=-(x-4). A soma fica: |x-2|+|x-4|=-(x-2)-(x-4)=-2x+6. A inequação é
-2x+6 >= 6
que leva a -2x >= 0 e, dividindo por -2 (invertendo o sinal), a solução neste intervalo é x <= 0. Como estamos em x <= 2, ficamos com x <= 0.

Passo 4

Para 2 <= x <= 4 temos x-2>=0 e x-4<=0, logo |x-2|=x-2 e |x-4|=-(x-4). Assim
|x-2|+|x-4|=(x-2)-(x-4)=2
e a inequação 2 >= 6 é sempre falsa. Não há soluções neste intervalo.

Passo 5

Para x >= 4 temos x-2>=0 e x-4>=0, então |x-2|=x-2 e |x-4|=x-4. A soma dá
|x-2|+|x-4|=(x-2)+(x-4)=2x-6
e a inequação
2x-6 >= 6
implica 2x >= 12, ou seja x >= 6. Como estamos em x >= 4, mantemos x >= 6.

Passo 6

Agora unimos as duas partes válidas: x <= 0 ou x >= 6.

Resposta

x \in (-\infty,0] \cup [6,\infty)

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