Um elemento radioativo X sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração k % da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano n é mn, então no ano seguinte ela é dada por:
mn+1=(1-k) mn
onde 0<k<1 representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
(a) Suponha que a massa inicial do elemento seja M microgramas. Determine uma expressão para mn, a massa restante após n anos, em função de M, k e n.
(b) O tempo de meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade da massa inicial. Determine uma expressão para o tempo de meia-vida t12 em função da taxa de decaimento k.
(c) O carbono-14 ( C^14 ) é um isótopo radioativo utilizado em datações arqueológicas. Suponha que, após um ano, uma amostra de 10 microgramas de C^14 se reduz para 9,9988 microgramas. Estime o tempo de meia-vida desse elemento.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado fala que um elemento radioativo X tem massa mn no ano n e, a cada ano, uma fração k% dessa massa some. Isso é um decaimento exponencial, modelado pela recorrência
mn+1=(1-k),mn,
com 0<k<1. O conteúdo principal é progressão geométrica (para achar mn) e logaritmos (para achar a meia-vida). Vamos usar:
  1. fórmula de termo geral de sequência geométrica;
  2. propriedade de logaritmo ln(a^b)=b,ln a.

Passo 2

(a) Queremos mn em função de M, k e n. Note que cada ano multiplicamos a massa por (1-k). Se no ano 0 era m0=M, então no ano 1 é
m1=(1-k),M,
no ano 2 é
m2=(1-k),m1=(1-k)^2M,
e, assim, por indução, no ano n:
boxedmn = M,(1-k)^n

Passo 3

(b) A meia-vida ttfrac12 é o tempo para a massa ficar M/2. Então impomos
mttfrac12 = M,(1-k)^ttfrac12 = M2
Divide os dois lados por M:
(1-k)^ttfrac12 = tfrac12
Agora aplica log natural nos dois lados e usa ln(a^b)=bln a:
ttfrac12,ln(1-k) = lnl(tfrac12r) Longrightarrow boxedttfrac12 = lnl(tfrac12r)ln(1-k)
Como ln(1-k)<0 e ln(1/2)<0, o quociente dá positivo.

Passo 4

(c) Para o carbono-14 temos M=10, mug e, depois de 1 ano, m1=9,9988, mug. Logo
1-k = m1M = 9,998810 = 0,99988 Longrightarrow k = 1 - 0,99988 = 0,00012
Substitui na fórmula da meia-vida:
ttfrac12 = lnl(tfrac12r)ln(1-k) = ln(0,5)ln(0,99988) approx -0,693147-0,0001200072 approx 5776 anos

Resposta

(a) mn = M,(1-k)^n
(b) ttfrac12 = dfraclnl(tfrac12r)ln(1-k)
(c) Aproximadamente 5,8times10^3 anos (≈ 5776 anos)

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