Um elemento radioativo
sofre decaimento radioativo natural ao longo do tempo. A cada ano, uma fração
da massa da substância se decompõe. Isso significa que, se a massa no ano
é
, então no ano seguinte ela é dada por:
onde
representa a taxa de decaimento anual (expressa como número decimal).
(a) Suponha que a massa inicial do elemento seja
microgramas. Determine uma expressão para
, a massa restante após
anos, em função de
e
.
(b) O tempo de meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade da massa inicial. Determine uma expressão para o tempo de meia-vida
em função da taxa de decaimento
.
(c) O carbono-14 (
) é um isótopo radioativo utilizado em datações arqueológicas. Suponha que, após um ano, uma amostra de 10 microgramas de
se reduz para 9,9988 microgramas. Estime o tempo de meia-vida desse elemento.
(a) Suponha que a massa inicial do elemento seja
(b) O tempo de meia-vida de uma substância é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade da massa inicial. Determine uma expressão para o tempo de meia-vida
(c) O carbono-14 (
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado fala que um elemento radioativo
tem massa
no ano
e, a cada ano, uma fração
dessa massa some. Isso é um decaimento exponencial, modelado pela recorrência
com
. O conteúdo principal é progressão geométrica (para achar
) e logaritmos (para achar a meia-vida). Vamos usar:
- fórmula de termo geral de sequência geométrica;
- propriedade de logaritmo
.
Passo 2
(a) Queremos
em função de
,
e
. Note que cada ano multiplicamos a massa por
. Se no ano 0 era
, então no ano 1 é
no ano 2 é
e, assim, por indução, no ano
:
Passo 3
(b) A meia-vida
é o tempo para a massa ficar
. Então impomos
Divide os dois lados por
:
Agora aplica log natural nos dois lados e usa
:
Como
e
, o quociente dá positivo.
Passo 4
(c) Para o carbono-14 temos
,
g e, depois de 1 ano,
,
g. Logo
Substitui na fórmula da meia-vida:
Resposta
(a)
(b)
(c) Aproximadamente anos (≈ 5776 anos)
(b)
(c) Aproximadamente