Determine o valor das constantes e de modo que a função seja contínua em .
,\n

Passo 1

Resumindo o enunciado:
Temos a função
f(x)= x+raizx-2x-1,&0<= x<1,[1em] a,x+bx^2+3,&x>=1,
definida em D=[0,infty).
Queremos escolher a,b de modo que f seja contínua em todo D.
Como cada ramo é composto de funções contínuas nos seus intervalos abertos, o único ponto de possível descontinuidade é x=1.]

Passo 2

Verificamos a continuidade em x=1. Primeiro calculamos o limite lateral pela esquerda:
limxto1^-f(x) =limxto1^-x+raizx-2x-1
Note que em x=1 o numerador vale 1+1-2=0 e o denominador vale 0, então podemos usar a regra de l’Hôpital:
derivando numerador e denominador, obtemos
ddxl(x+raizx-2r)=1+12raizx, ddx(x-1)=1
Logo
limxto1^-x+raizx-2x-1 =limxto1^-l(1+12raizxr) =1+12cdot1 =32

Passo 3

Para f ser contínua em x=1, esse limite à esquerda deve coincidir com o valor de f(1) dado pelo ramo da direita:
f(1)=acdot1 + b1^2+3 =a+b4
Portanto impomos
a+b4 ;=;32 Longrightarrow a+b=6

Resposta

A condição necessária e suficiente para f ser contínua em todo D é
boxeda+b=6

Exercícios relacionados